给出四个整数A,B,C,D ，其中1≤A≤B≤C≤D≤5·105 求三边长分别为a, y,z(z, g,z为整数）并且满足A≤a<B≤y<C≤7≤D的非退化三角形（三顶点不共线）的个数

### 回答1：
首先，设当前枚举到的数为 $x$，它组成一条边的非退化三角形个数为 $f(x)$。则题目所求即为 $\sum\limits_{i=A}^{B-1}\sum\limits_{j=B}^{C-1}\sum\limits_{k=C}^{D-1}f(i)f(j)f(k)$。

考虑预处理出 $f(x)$。对于一个 $x$，我们需要求出有多少个 $y$ 和 $z$ 可以满足条件，使得 $x+y>z$ 且 $x+y+z>C$。由这两个条件可以得到 $z\in [\left \lceil\frac{x+y}{2}\right \rceil, C-1]$。因此，我们可以将 $[A, D]$ 中的数按照大小排序，枚举 $x$，对于每个 $x$，用双指针算出满足条件的 $y$ 和 $z$ 的个数，更新 $f(x)$。这个过程的时间复杂度为 $\mathcal{O}(D\log D)$。

接着，我们考虑如何求出 $\sum\limits_{i=A}^{B-1}\sum\limits_{j=B}^{C-1}\sum\limits_{k=C}^{D-1}f(i)f(j)f(k)$。由于只有三个变量，我们可以先将 $\mathcal{O}(D^3)$ 的累加转化为 $\mathcal{O}(D^2)$ 的累加。

我们枚举 $i$ 和 $j$，以 $k$ 作为循环，同时记录 $\sum\limits_{k=C}^D f(k)$ 和 $\sum\limits_{k=C}^D f(k)^2$。每次枚举 $j$ 时，用类似前缀和的思想将 $i$ 的贡献加到答案中。该过程的时间复杂度为 $\mathcal{O}(D^2)$。

总时间复杂度为 $\mathcal{O}(D\log D + D^2)$。

### 回答2：
对于一个非退化三角形，任意两边的边长之和必须大于第三边的边长。

首先，根据题目给出的条件，已知 A≤a<B≤y<C≤7≤D，可以得到以下不等式：A + B > C，A + y > C，A + z > C，B + y > C，B + z > C， y + z > C。

进一步考虑，由于A≤B≤C≤D，所以A≤(A + y + z)/2≤(B + y + z)/2≤(C + y + z)/2≤(D + y + z)/2。

因此，我们可以设A + y + z = p，其中p表示三边长度之和。由于A≤(A + y + z)/2，所以A≤p/2，所以A的取值范围是[1, p/2]。

对于A的每一个取值，我们可以根据A + y + z = p的形式，得到y + z = p - A，然后再根据y + z > C，可以得到z > p - A - C。

再根据y + z > B，可以得到z > p - A - B。因此，z的取值范围是[p - A - C + 1, p - A - B]。

因此，对于固定的A和p，满足A≤a<B≤y<C≤7≤D的非退化三角形的个数等于z的取值范围的个数，即 p - A - B - C + 1。

所以，我们需要对A和p进行遍历，计算满足条件的非退化三角形的个数。

总结起来，我们可以得到以下算法：

1. 初始化非退化三角形的个数为0。
2. 对于p从A到p/2的值，依次计算非退化三角形的个数。
3. 对于A从1到p/2的值，依次计算非退化三角形的个数，即 p - A - B - C + 1。
4. 将计算得到的非退化三角形的个数累加到总数中。
5. 输出总的非退化三角形的个数。

由于总的运算次数是O(p^2)，p最大为5*10^5，所以该算法的时间复杂度为O(2.5*10^10)，可以满足题目要求。