在MATLAB中分别用数值计算、符号计算和Simulink仿真方法求解方程： 𝑥′′+0.2𝑥′+0.4𝑥=0.2𝑢(𝑡),其中u(t)是单位阶跃函数。 x(0)=0 and x′(0)=0

数值计算方法：

首先将二阶微分方程转换为一阶微分方程组：

$\begin{cases} x_1' = x_2 \\ x_2' = -0.4x_1 - 0.2x_2 + 0.2u(t) \end{cases}$

其中 $x_1 = x$，$x_2 = x'$。

然后采用欧拉法进行数值计算，MATLAB代码如下：

function [t,x] = numerical_solve()
    h = 0.001; % 步长
    t = 0:h:10; % 时间范围
    x = zeros(2,length(t)); % 初始化
    x(:,1) = [0;0]; % 初值
    for i = 2:length(t)
        u = 0.2*(t(i)>0); % 单位阶跃函数
        x(:,i) = x(:,i-1) + h*[x(2,i-1); -0.4*x(1,i-1)-0.2*x(2,i-1)+0.2*u];
    end
end

符号计算方法：

采用MATLAB的符号计算工具箱，代码如下：

syms x(t) u(t)
Dx = diff(x,t);
ode = diff(x,t,2) + 0.2*Dx + 0.4*x == 0.2*u;
cond = [x(0) == 0, Dx(0) == 0];
xSol(t) = dsolve(ode, cond);
u(t) = heaviside(t); % 单位阶跃函数
ezplot(xSol,[0,10]);

Simulink仿真方法：

建立Simulink模型，将二阶微分方程转换成一阶微分方程组，模型如下图所示：


其中，Subsystem1用于计算状态方程，Subsystem2用于计算输出方程，Step用于产生单位阶跃函数，Scope用于显示结果。

MATLAB代码如下：

open_system('simulink_solve')
sim('simulink_solve', [0, 10]);

三种方法求解的结果如下图所示：