设<A,B>为偏序集,其中A={1,2,3,5,6,15,30},其中R是A上的整除关系。1、画出<A,R>的哈斯图,2、求A中的最大元,最小元

时间: 2023-08-19 07:04:56 浏览: 161
好的,我来回答你的问题。 首先,根据题目中给出的偏序集<A,R>,我们可以得到如下的哈斯图: ``` 30 | 15 / \ 5 6 / \ / \ 1 3 2 1 ``` 接下来,我们来求解A中的最大元和最小元。 - 最大元:根据偏序集的定义,最大元是指该集合中没有比它更大的元素。因此,在<A,R>中,最大元为30。 - 最小元:同理,最小元是指该集合中没有比它更小的元素。根据A的定义,1是该集合中最小的元素,因此1为A的最小元。
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设A={a,b,c},<A,€>是P(A)上定义的偏序集,B={{a},{b},{a,c},{a,b}}上的下界

在偏序集中,元素之间可能存在比较大小的关系,下界就是在这个比较大小关系下的最小值。 对于集合B,根据偏序集的定义,我们需要找到一个集合X,使得对于B中的任意一个元素Y,都有X≤Y(即X是Y的下界)。同时,X必须是B中元素的子集。 那么B的下界可以有多个,例如空集∅、{a}、{b}、{a,b}等。 其中最小的下界是空集∅,因为空集是所有集合的子集,同时也是最小的子集。

设G为群,a∈G, 试证明:若a是n 阶元,则 |<a> | = n 若偏序集 <S,≤> 构成格,则 定义S上的二元运算° :  x ° y= {x,y}的上确界, 定义S上的二元运算* :  x * y= {x,y}的下确界。 证明:运算°与* 满足吸收律。 设G为群,a,b,c∈G 且 cab的阶存在,证明  | abc | = | cab | 设G为群,a∈G且 |a| = r, k是整数,证明 若 ak = e  则 r | k . 设G为群,a∈G, 试证明:若a是n 阶元,则<a> = {  a0, a1, a2, … , an-1 }

好的,我已经注意到你的问题了。下面是我的回答: 1. 设a是G中的n阶元,即a^n = e,其中e是G的单位元素。那么<a> = {a^0, a^1, ..., a^(n-1)}。首先证明这个集合是G的子群。由于a^n = e,所以a^(-1) = a^(n-1),即a的逆元素是a^(n-1)。因此,对于任意的i,j∈{0,1,...,n-1},我们有a^i * a^j = a^(i+j),其中i+j的结果需要对n取模,因为a^n = e。因此,<a>是封闭的。此外,a^0 = e,因此<a>包含单位元素。最后,对于任意的i∈{0,1,...,n-1},(a^i)^(-1) = a^(n-i),因此<a>包含每个元素的逆元素。因此,<a>是G的子群。由于a的阶是n,<a>中的元素的阶必须是a的因子。但是,由于a^n = e,因此a的阶不能是n的真因子。因此,<a>中的元素的阶必须是n,因此<a>的阶是n。因此,|<a>| = n。 2. 设S是一个格,x,y∈S。我们需要证明x ° (x * y) = x * (x ° y) = x。首先证明x ° (x * y) = x。根据定义,x * y = {x,y}的下确界,因此x * y ≤ x,并且x * y是下界。另一方面,x,y都是{x,y}的上界,因此x ° (x * y)必须是{x,y}的上界。因此,x ° (x * y) ≥ x。由于x ° (x * y)是上界,因此它必须是(x * y)的上界。因此,x ° (x * y) ≥ x * y。但是,x * y是下确界,因此对于任何上界u,我们都有u ≥ x * y。因此,x ° (x * y) ≤ x * y。结合上面的不等式,我们得到x * y = x ° (x * y)。同样地,我们可以证明x * (x ° y) = x,证毕。 3. 设cab的阶为m。我们需要证明|abc| = m。首先,我们知道(a*b)^n = a^n * b^n,因此(c*a*b)^m = c^m * a^m * b^m = e。因此,|abc|必须是m的因子。另一方面,(a*b*c)^m = a^m * b^m * c^m = e,因此m是abc的阶的因子。因此,我们有|m| = |cab|的结论。由于cab的阶是m,因此|abc|必须是m的因子。但是,由于abc的阶是m的倍数,因此|abc| = m,证毕。 4. 假设ak = e,其中r是a的阶。那么r | k的证明如下:根据定理,对于任意的整数k,我们有a^k = a^(k mod r)。因此,ak = a^(k mod r) = e。因此,k mod r是r的倍数,因此r | k。 5. 设a是G中的n阶元。我们需要证明<a> = {a^0, a^1, ..., a^(n-1)}。首先,<a>是a的阶的子群,因此它包含a的所有幂次。因此,{a^0, a^1, ..., a^(n-1)}是<a>的子集。另一方面,由于a^n = e,我们有a^k = a^(k mod n),因此<a>中的元素可以表示成a的幂次,其中指数在模n意义下等于0到n-1之间的整数。因此,{a^0, a^1, ..., a^(n-1)}包含在<a>中。因此,<a> = {a^0, a^1, ..., a^(n-1)},证毕。
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