此题数据范围为1 <n< 10的18次方请给出性能更高的c++详细代码

针对大规模数据范围 \(1 < n < 10^{18}\)，我们可以通过优化质因数分解过程来提高代码的性能。一个常见的优化策略是使用埃拉托斯特尼筛法（Sieve of Eratosthenes）预先生成所有小素数，然后在找到每个数的质因子时直接从已知素数列表中获取。以下是优化后的代码：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>

using namespace std;

vector<int> sieveOfEratosthenes(int n) {
    vector<bool> isPrime(n+1, true);
    vector<int> primes;

    for (int p=2; p*p<=n; ++p) {
        if (isPrime[p]) {
            primes.push_back(p);
            for (int i=p*p; i<=n; i += p)
                isPrime[i] = false;
        }
    }

    // 将大于 sqrt(n) 的素数添加至 primes 后面
    for (int p = n; p > 1 && primes.back() * primes.back() <= n; p--)
        if (isPrime[p])
            primes.push_back(p);

    return primes;
}

int countMutuallyCoprimeGroups(int n) {
    vector<int> primes = sieveOfEratosthenes(sqrtl(n));
    int product = 1;
    for (const auto &prime : primes) {
        int exponent = 0;
        while (product <= n && product % prime == 0) {
            product *= prime;
            ++exponent;
        }
        // 每增加一个质因子，堆的数量会乘以当前质因子减一，然后加一次之前产生的堆数
        int newPiles = primes.size() * exponent;
        int oldPiles = product > n ? primes.size() - exponent : 1;
        minHeapCount = min(minHeapCount, newPiles + oldPiles - 1);
    }

    return minHeapCount;
}

int main() {
    long long n;
    cout << "Enter the value of n: ";
    cin >> n;
    int minHeapCount = countMutuallyCoprimeGroups(n);
    cout << "Minimum number of piles to make all numbers mutually co-prime up to " << n << " is: " << minHeapCount << endl;
    return 0;
}

在这个版本中，我们用埃拉托斯特尼筛法生成了小于等于 `sqrt(n)` 的所有素数，然后遍历这些素数并计算它们能分别构成的堆数。这比每次循环都要检查所有小于 `n` 的数更高效。