f(x) = 7x^5 -4x^4 +4x-2, g(x) =3x^2 -4∈ F5[x],计算(f(x),g(x))并求s(x)，t(x)使得 s(x)f(x) +t(x)g(x) = (f(x),g(x)）。

对于第一个问题，(f(x),g(x))表示f(x)和g(x)的最大公因式，因此需要先求解f(x)和g(x)的多项式最大公因式。

根据欧几里得算法，先用g(x)去除f(x)，得到余数r1(x) = - 2x - 2。然后用r1(x)去除g(x)，得到余数r2(x) = 2x + 4。继续用r2(x)去除r1(x)，得到余数r3(x) = -8，不可继续除下去。

因此，(f(x),g(x)) = 2x + 4，即s(x) = (1/2)x + 2，t(x) = (4/3)x - 1。

注意，以上计算是在有限域F5上进行的，因此需要注意多项式系数必须在模5的意义下计算。

相关问题

帮我解决这个问题：4.25对下述函数f、g 及集合A、B,计算f°g、f°g(A)和f°g(B),并说明f°g是}为单射或满射。 (1) f: R→R,f(x)=x4-x2 g: N→R,g(x)=Nx A={2,4,6,8,10},B={0,1}。 (2) f: Z→R,f(x)=e' g: Z- >Z,g(x)= x2 A=N,B={2k|k∈N}。

(1)
首先，计算 f°g(x) = f(g(x)) = f(Nx) = (Nx)^4 - (Nx)^2 = N^4x^4 - N^2x^2。
其次，计算 f°g(A) = {f(g(x)) | x∈A} = {f(Nx) | x∈A} = {N^4x^4 - N^2x^2 | x∈A} = {2^12-2^6, 2^16-2^8, 2^20-2^10, 2^24-2^12, 2^28-2^14}。
最后，计算 f°g(B) = {f(g(x)) | x∈B} = {f(0), f(N)} = {0, N^4-N^2}。

由于 f°g(x) 是一个四次函数，且系数 N^4 和 N^2 都是正数，所以 f°g(x) 的图像是开口向上的，且在 x=0 处达到最小值。因此，f°g 是从 N 自然数集合到 R 实数集合的一个映射，且不是单射，因为不同的自然数可能映射到相同的实数。同时，也不是满射，因为存在实数无法被映射到。

(2)
首先，计算 f°g(x) = f(g(x)) = f(x^2) = e^(x^2)。
其次，计算 f°g(A) = {f(g(x)) | x∈A} = {f(x^2) | x∈N} = {e^(x^2) | x∈N}。
最后，计算 f°g(B) = {f(g(x)) | x∈B} = {f(0)} = {e^0} = {1}。

由于 e^(x^2) 是单调递增的函数，因此 f°g(x) 是从 Z 整数集合到 R 实数集合的一个单射。同时，由于 e^(x^2) 可以取到任意正实数，因此 f°g 是一个从 Z 整数集合到 R 实数集合的满射。