矩形脉冲信号与连续波相乘傅里叶变换，用公式推导

设矩形脉冲信号为 $x(t)$，连续波信号为 $y(t)$，它们的傅里叶变换分别为 $X(f)$ 和 $Y(f)$。

矩形脉冲信号 $x(t)$ 的表达式为：

$$
x(t) = \begin{cases}
1, & 0 \leq t \leq T \\
0, & \text{otherwise}
\end{cases}
$$

连续波信号 $y(t)$ 的表达式为：

$$
y(t) = A\cos(2\pi f_0 t + \phi)
$$

两个信号的乘积为：

$$
z(t) = x(t) \cdot y(t) = A\cos(2\pi f_0 t + \phi) \cdot \begin{cases}
1, & 0 \leq t \leq T \\
0, & \text{otherwise}
\end{cases}
$$

将 $z(t)$ 展开，得到：

$$
z(t) = \begin{cases}
A\cos(2\pi f_0 t + \phi), & 0 \leq t \leq T \\
0, & \text{otherwise}
\end{cases}
$$

对 $z(t)$ 进行傅里叶变换，得到：

$$
Z(f) = \int_{-\infty}^{\infty} z(t) e^{-j2\pi ft} dt = \int_{0}^{T} A\cos(2\pi f_0 t + \phi) e^{-j2\pi ft} dt
$$

利用欧拉公式将 $\cos$ 转化为指数形式，得到：

$$
Z(f) = \frac{A}{2} \left( e^{j2\pi (f-f_0)T} + e^{-j2\pi (f+f_0)T} \right) \frac{e^{j\phi} - e^{-j\phi}}{j2}
$$

化简得到：

$$
Z(f) = \frac{A}{2j} \left[ e^{j2\pi (f-f_0)T} - e^{-j2\pi (f+f_0)T} \right] \sin\phi
$$

因此，矩形脉冲信号与连续波相乘的傅里叶变换为：

$$
X(f) * Y(f) = Z(f) = \frac{A}{2j} \left[ e^{j2\pi (f-f_0)T} - e^{-j2\pi (f+f_0)T} \right] \sin\phi
$$

其中，$*$ 表示卷积运算。