<div v-for="(item, index) in $store.state.category" :key="index"> <div class="bg">{{ item.category | showFirst }}</div> <div class="name">{{ item.category }}</div> </div>，对class=‘“bg”添加背景颜色。

要为`class="bg"`的元素添加背景颜色，你可以使用内联样式绑定的方式来实现。以下是一个示例：

<template>
  <div>
    <div v-for="(item, index) in $store.state.category" :key="index">
      <div class="bg" :style="{ backgroundColor: item.backgroundColor }">
        {{ item.category | showFirst }}
      </div>
      <div class="name">{{ item.category }}</div>
    </div>
  </div>
</template>

<script>
export default {
  computed: {
    $store() {
      return this.$store;
    }
  },
  filters: {
    showFirst: function(value) {
      return value.charAt(0);
    }
  },
  mounted() {
    this.$store.state.category.forEach((item) => {
      item.backgroundColor = getRandomColor();
    });
  }
};

function getRandomColor() {
  const letters = '0123456789ABCDEF';
  let color = '#';
  for (let i = 0; i < 6; i++) {
    color += letters[Math.floor(Math.random() * 16)];
  }
  return color;
}
</script>

在上面的示例中，我们使用`v-for`指令遍历`$store.state.category`数组，并为每个循环项`item`添加了一个`backgroundColor`属性。在`mounted`钩子函数中，我们为每个循环项设置了随机的背景颜色。

然后，我们使用`:style`指令将`backgroundColor`属性与`item.backgroundColor`关联起来，从而为`class="bg"`的元素添加背景颜色。

请注意，上述示例中的`getRandomColor`函数用于生成随机的背景颜色。你可以根据需要自定义生成颜色的逻辑。

最后，我们还添加了一个名为`showFirst`的过滤器，用于仅显示每个类别的第一个字符。你可以根据需要自定义过滤器的逻辑。