二维正态分布边缘概率推导过程

假设 $X\sim N(\mu_x,\sigma_x^2)$，$Y\sim N(\mu_y,\sigma_y^2)$ 且 $X$ 和 $Y$ 之间的相关系数为 $\rho$，那么二维正态分布的密度函数可以写作：

$$f_{X,Y}(x,y)=\frac{1}{2\pi\sigma_x\sigma_y\sqrt{1-\rho^2}}\exp\left\{-\frac{1}{2(1-\rho^2)}\left[\frac{(x-\mu_x)^2}{\sigma_x^2}-2\rho\frac{(x-\mu_x)(y-\mu_y)}{\sigma_x\sigma_y}+\frac{(y-\mu_y)^2}{\sigma_y^2}\right]\right\}$$

对于边缘概率，我们只需要将另一个变量积分掉即可，例如对 $X$ 进行积分得到 $Y$ 的边缘概率：

$$f_Y(y)=\int_{-\infty}^{\infty}f_{X,Y}(x,y)dx=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_y\sqrt{1-\rho^2}}\exp\left\{-\frac{1}{2(1-\rho^2)}\left[\frac{(y-\mu_y)^2}{\sigma_y^2}-\frac{\rho^2}{\sigma_x^2}(y-\mu_y)^2\right]\right\}$$

化简可得：

$$f_Y(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_y\sqrt{1-\rho^2}}\exp\left\{-\frac{(y-\mu_y)^2}{2\sigma_y^2(1-\rho^2)}\right\}$$

这就是 $Y$ 的边缘概率密度函数，可以看出它是一个均值为 $\mu_y$，标准差为 $\sigma_y\sqrt{1-\rho^2}$ 的正态分布。类似地，对 $Y$ 进行积分得到 $X$ 的边缘概率密度函数，也是一个均值为 $\mu_x$，标准差为 $\sigma_x\sqrt{1-\rho^2}$ 的正态分布。