数据结构 图 关键路径

关键路径是指在一个有向图中，从起点到终点的最长路径，也是完成整个网络所需的最短时间。在AOE（Activity On Edge）网络中，关键路径是指完成整个网络所需的最长时间，也是从开始顶点到最后一个顶点的最长路径。[2]

关键路径的特点是，缩短关键路径上的时间可以缩短整个工程的最短时间。然而，一旦关键路径上的活动时间被缩短到一定程度，关键路径可能会发生变化。比如，在一个发动机建造的项目中，如果发动机建造时间已经缩短到2个单位时间以下，继续缩短发动机建造时间就没有意义了。[1]

在一个AOE网中，有些活动是可以并行进行的，这样可以缩短整个工程的时间。但是完成工程的最短时间仍然是从源点到汇点的最长路径的长度，也就是关键路径的长度。[3]

因此，关键路径在数据结构中的图中是指完成整个网络所需的最长时间的路径。它是一个重要的概念，可以帮助我们分析和优化工程项目的时间安排。

相关问题

数据结构 实验关键路径

关键路径是指在一个项目中，所有活动中最长的路径，它决定了整个项目的完成期限。关键路径分析是一种用来确定关键任务和关键路径的管理工具。下面是实现关键路径的步骤：

1. 读取数据，建立AOE网络邻接表存储结构。
2. 对AOE网络进行拓扑排序，得到每个顶点的最早开始时间。
3. 对AOE网络进行逆拓扑排序，得到每个顶点的最晚开始时间。
4. 计算每个活动的最早开始时间和最晚开始时间。
5. 计算每个活动的总时差。
6. 找到所有总时差为0的活动，这些活动组成了关键路径。
7. 输出关键路径和工程的最短完成时间。

下面是Python代码实现：

class Vertex:
    def __init__(self, name):
        self.name = name
        self.in_degree = 0
        self.out_degree = 0
        self.early_start = 0
        self.late_start = float('inf')
        self.adjacent = {}

    def add_neighbor(self, neighbor, weight=0):
        self.adjacent[neighbor] = weight
        neighbor.in_degree += 1
        self.out_degree += 1


class Graph:
    def __init__(self):
        self.vertices = {}

    def add_vertex(self, vertex):
        self.vertices[vertex.name] = vertex

    def get_vertex(self, name):
        if name not in self.vertices:
            self.vertices[name] = Vertex(name)
        return self.vertices[name]

    def add_edge(self, frm, to, weight=0):
        if frm not in self.vertices:
            self.add_vertex(Vertex(frm))
        if to not in self.vertices:
            self.add_vertex(Vertex(to))
        self.vertices[frm].add_neighbor(self.vertices[to], weight)

    def topsort(self):
        queue = []
        for vertex in self.vertices.values():
            if vertex.in_degree == 0:
                queue.append(vertex)

        while queue:
            current_vertex = queue.pop(0)
            print(current_vertex.name)
            for neighbor in current_vertex.adjacent:
                neighbor.in_degree -= 1
                if neighbor.in_degree == 0:
                    queue.append(neighbor)

    def critical_path(self):
        for vertex in self.vertices.values():
            if vertex.in_degree == 0:
                vertex.early_start = 0

        stack = []
        for vertex in self.vertices.values():
            if vertex.in_degree == 0:
                stack.append(vertex)

        while stack:
            current_vertex = stack.pop()
            for neighbor in current_vertex.adjacent:
                if neighbor.early_start < current_vertex.early_start + current_vertex.adjacent[neighbor]:
                    neighbor.early_start = current_vertex.early_start + current_vertex.adjacent[neighbor]
            stack.extend([neighbor for neighbor in current_vertex.adjacent if neighbor.in_degree > 0])
        
        for vertex in self.vertices.values():
            if vertex.out_degree == 0:
                vertex.late_start = vertex.early_start

        stack = []
        for vertex in self.vertices.values():
            if vertex.out_degree == 0:
                stack.append(vertex)

        while stack:
            current_vertex = stack.pop()
            for neighbor in self.vertices.values():
                if current_vertex in neighbor.adjacent:
                    if neighbor.late_start > current_vertex.late_start - neighbor.adjacent[current_vertex]:
                        neighbor.late_start = current_vertex.late_start - neighbor.adjacent[current_vertex]
            stack.extend([vertex for vertex in self.vertices.values() if vertex.out_degree > 0 and vertex.late_start < float('inf')])

        for vertex in self.vertices.values():
            for neighbor in vertex.adjacent:
                slack = neighbor.late_start - vertex.early_start - vertex.adjacent[neighbor]
                if slack == 0:
                    print(f'{vertex.name} -> {neighbor.name} is on the critical path')

        print(f'The shortest completion time is {max([vertex.early_start for vertex in self.vertices.values()])}')

# 读取数据，建立AOE网络邻接表存储结构
g = Graph()
g.add_edge('A', 'B', 3)
g.add_edge('A', 'C', 2)
g.add_edge('B', 'D', 5)
g.add_edge('C', 'D', 4)
g.add_edge('B', 'E', 6)
g.add_edge('D', 'F', 7)
g.add_edge('E', 'F', 8)

# 输出关键路径和工程的最短完成时间
g.critical_path()

educoder数据结构关键路径

在学习数据结构的过程中，关键路径是一个重要的概念。关键路径是指在一个项目中，所有活动的完成时间都不得超过其最短完成时间的一条路径。在学习关键路径的过程中，我们需要了解以下几个关键点：

1. 如何求解关键路径？
关键路径的求解可以使用关键路径算法，其中最常用的算法是 PERT 算法和 CPM 算法。这两种算法都可以通过图论来求解关键路径。

2. 关键路径的作用是什么？
关键路径可以帮助我们确定项目的最短完成时间，并且可以帮助我们优化项目进度和资源分配。在项目管理中，关键路径也是非常重要的一个指标。

3. 关键路径的应用领域有哪些？
关键路径主要应用于项目管理、工程管理、生产管理等领域。在这些领域中，关键路径可以帮助我们确定项目的进度、资源和成本等方面的问题，从而提高项目的效率和质量。

在 Educoder 数据结构课程中，也涉及到了关键路径的相关知识，包括如何使用图论来求解关键路径、如何应用关键路径来优化项目进度和资源分配等方面的内容。如果你对关键路径的学习感兴趣，可以参考 Educoder 数据结构课程中的相关内容进行学习。