证明e^x＞lnx+2

首先，我们可以将两个函数在x=1处进行比较。e^1=2.71828，ln(1)=0，因此e^x＞lnx在x=1处成立。

接下来，我们可以对两个函数分别求导数。e^x的导数为e^x，lnx的导数为1/x。我们可以发现，当x>1时，e^x的导数始终大于lnx的导数，因此e^x的增长速度始终大于lnx的增长速度，即e^x＞lnx。

因此，我们证明了e^x＞lnx在x>1时成立。

相关问题

已知f(x)=lnx/x，函数f(x)=a有两不同的零点 ×1，x2，且x1<x2 (1)求a的取值范围; (2)证明：x1x2>e/a

(1) 要求f(x)=a有两不同的零点x1和x2，则f(x)=lnx/x=a的图像必须穿过x轴两次。因为f(x)在(0,1)和(1,+∞)的单调性不同，所以我们分别考虑两个区间。

在(0,1)中，f(x)单调递增且f(1)=0，所以当a>0时，f(x)=a必有一个零点，当a<0时，f(x)=a没有零点。因此，a>0时，f(x)=a有且只有一个零点。

在(1,+∞)中，f(x)单调递减，当x趋近于无穷大时，f(x)趋近于0，所以当a>0时，f(x)=a没有零点，当a=0时，f(x)=a有一个零点，当a<0时，f(x)=a有且只有一个零点。

综上所述，a≠0时，f(x)=a有两个不同的零点x1和x2的充分必要条件是a<0。

(2) 首先，由于x1和x2是f(x)=a的零点，所以有lnx1=-ax1和lnx2=-ax2。将x1和x2代入f(x)=lnx/x=a中得到：

x1 = e^(1/a)
x2 = e^(-1/a)

因此，x1x2=e^(1/a)e^(-1/a)=e^(0)=1。

又因为a<0，所以-e/a>0，所以我们只需要证明x1x2>e/a即可。

由于e^x是凸函数，所以根据凸函数的性质，对于任意的实数a和b，都有e^(a+b)>e^a+e^b。因此，对于a<0和b=-a，有：

e^(-a-a) > e^(-a) + e^(-a)

即

e^(-2a) > 2e^(-a)

将上式两边同时除以e^(-a)，得到：

e^(-a) > 2/e^a

两边同时取倒数，得到：

e^a > 2/e^(-a)

即

e/a < x1x2

因此，证毕。

已知函数f(x)=e*-ax和函数g(x)=ax-lnx有相同的最小值证明：存在直线y=b,其与两条曲线y=f(x)和y＝g(x)共有 三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列

已知函数f(x) = e^(-ax) 和函数g(x) = ax - ln(x) 有相同的最小值，需要证明存在直线y=b，它与这两条曲线y=f(x) 和y=g(x) 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列。

首先，我们要找到这两个函数的最小值点。函数f(x)的最小值点可以通过求导数并令其为0来求得：

f(x) = e^(-ax)，f'(x) = -ae^(-ax)，令f'(x) = 0，得到x = 1/a。

同理，函数g(x)的最小值点可以通过求导数并令其为0来求得：

g(x) = ax - ln(x)，g'(x) = a - 1/x，令g'(x) = 0，得到x = 1/a。

由于这两个函数的最小值点相同，所以它们在这个点处的函数值也相同：

f(1/a) = g(1/a)

代入f(x)和g(x)的表达式，得到：

e^(-1) = 1/a - ln(1/a)

进一步整理，得到：

a = e^(-1)

将a代入f(x)和g(x)的表达式，得到：

f(x) = e^(-ex)

g(x) = e^(-1)x - ln(x)

我们要证明存在直线y=b，它与这两条曲线y=f(x) 和y=g(x) 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列。我们可以通过寻找这三个交点来证明它们存在。

首先，考虑直线y=b与函数f(x)的交点。将y=f(x)和y=b带入方程，得到：

e^(-ax) = b

解出x，得到：

x = -ln(b)/a

同理，直线y=b与函数g(x)的交点为：

e^(-1)x - ln(x) = b

将b代入上式，得到：

e^(-1)x - ln(x) = e^(-1)

将两边同时除以e^(-1)，得到：

xe = e^x

这个方程的解需要使用Lambert W函数，最终解为：

x = -W(-1/e)

现在我们已经找到了直线y=b与函数f(x)和g(x)的两个交点，它们分别为(-ln(b)/a, b)和(-W(-1/e), b)。我们要证明存在第三个交点。

假设直线y=b与函数f(x)和g(x)的第三个交点为(x0, b)，其中x0为从左到右的第三个交点的横坐标。根据等差数列的性质，有：

x0 - (-ln(b)/a) = (-W(-1/e) - x0) / 2

化