x与ex,lnx组合函数问题解析

"有关x与ex,lnx的组合函数专题.pdf" 这篇文档主要探讨了与x、e^x和lnx相关的一些复合函数问题，包括构造函数、分离参数、函数拆分以及利用不等式进行放缩的方法。以下是根据文档内容提炼的知识点： 1. **类型一：构造函数** - 示例1展示了如何处理形如f(x) = ax - lnx的函数，并求解a的取值范围以确保f(x) ≥ 0。 - 训练1考察了函数y = a + 8lnx在特定区间内的性质，以及与二次函数y = -x^2 - 2关于x轴对称的点的存在性，进而确定a的取值范围。 2. **类型二：分离参数，设而不求** - 例2讨论了是否存在实数m，使得函数y = f(x) + m/x在g(x) = e^x/x的上方，其中f(x) = lnx。这里的关键是将问题转化为寻找使f(x) + m/x ≤ e^x/x恒成立的m的最大整数值。 3. **类型三：巧拆函数，有效分离lnx与e^x** - 例3分析了函数f(x) = ax^2 - xlnx的单调性和比较问题，特别是在a = e的情况下，证明f(x) < xe^x + 1/e对于所有x > 0都成立。 - 训练2研究了函数f(x) = lnx + ax(a > 0)，求解其零点存在的a的范围，并证明当a ≥ 2/e时，lnx + ax - e^-x > 0。 4. **类型四：借助e^x ≥ x + 1或lnx ≤ x - 1(x > 0)进行放缩** - 例4中的f(x) = x - 1 - alnx要求f(x) ≥ 0，这涉及使用不等式来找到a的值。 - 训练3的f(x) = e^x - a与直线y = x - 1相切，以及f(x) - lnx > 0恒成立的问题，这需要找到a的值或者a的最大整数值，同时利用e^x ≥ x + 1和lnx ≤ x - 1的性质。 5. **A级基础巩固：选择题** - 选择题部分检验了读者对上述概念的理解，例如奇函数的性质，以及函数单调性的应用。 这些题目和例子涵盖了函数分析、微积分中的基本概念和技巧，特别是涉及到指数函数、对数函数和它们的组合。解决这类问题需要对微积分的基本定理、导数的应用、函数单调性、极值点以及不等式的证明有深入的理解。