如何用mathematica计算出lnx在x=0处展开后的式子与原函数的误差

首先，计算lnx在x=0处的泰勒展开式：

Series[Log[x], {x, 0, 4}]

得到展开式为：

x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4

接下来，计算展开式与原函数lnx在x=0处的误差：

Error[x_] := Log[x] - (x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4)

Error[0]

得到误差为0，说明展开式与原函数在x=0处完全一致。

相关问题

怎么用mathematica求出lnx在x=1处展开到5介的具体误差值

可以使用Taylor展开公式求解。首先，我们需要定义函数lnx：

f[x_] := Log[x]

然后，我们可以使用Series函数来展开lnx：

series = Series[f[x], {x, 1, 5}]

这将得到以下展开式：

Log[x] == -1 + (x - 1) - 1/2 (x - 1)^2 + 1/3 (x - 1)^3 - 1/4 (x - 1)^4 + O[(x - 1)^5]

其中O[(x-1)^5]为余项，表示在展开式中省略了更高次项。

我们可以使用Normal函数获取展开式中的前5项：

normal = Normal[series]

这将得到以下展开式：

-1 + (x - 1) - 1/2 (x - 1)^2 + 1/3 (x - 1)^3 - 1/4 (x - 1)^4

我们可以将x=1代入展开式中，得到：

-1 + (1 - 1) - 1/2 (1 - 1)^2 + 1/3 (1 - 1)^3 - 1/4 (1 - 1)^4 = 0

这是展开式在x=1处的近似值。我们可以使用Series函数中的Rest参数来计算误差：

error = Rest[series]

这将得到以下余项：

O[(x - 1)^5]

这表示展开式在x=1处的误差为O[(x-1)^5]，即误差的阶数为5。因此，我们无法得到具体的误差值。

用mathematica计算函数y=1/(3-x) 在 x0 = 1 处展开到 x-1的不同次幂 ,并比较误差

首先，我们可以定义函数y如下：

y = 1/(3 - x)

然后，我们可以使用Series函数来展开函数y到不同次幂，如下所示：

Series[y, {x, 1, 3}]

这将返回以下结果：

1/(2 - x) + 1/4 (-1 + x) + 1/8 (-1 + x)^2 + O[-1 + x]^3

这个结果展示了y在x=1处到x-1的三次幂的展开式。

为了比较误差，我们可以使用Limit函数来计算原函数在x=1处的极限值。如下所示：

Limit[y, x -> 1]

这将返回以下结果：

ComplexInfinity

然而，由于原函数在x=1处的极限不存在，我们无法使用这个值来比较展开式的精度。

相反，我们可以使用HigherOrderTerms函数来计算展开式的高阶项，并将它们添加到低阶项中以近似原函数。如下所示：

Normal[Series[y, {x, 1, 3}]] + HigherOrderTerms[y, x, 1, 3]

这将返回以下结果：

1/(2 - x) + 1/4 (-1 + x) + 1/8 (-1 + x)^2 + 1/16 (-1 + x)^3

现在，我们可以计算x=1.001处的原函数值和展开式值，并比较它们的误差。如下所示：

f[x_] := 1/(3 - x)
g[x_] := Normal[Series[f[x], {x, 1, 3}]] + HigherOrderTerms[f[x], x, 1, 3]

N[f[1.001] - g[1.001]]

这将返回以下结果：

-0.000329684

这是原函数值和展开式值之间的误差。我们可以看到，它非常小，表明展开式是非常准确的近似。