用mathematica 展开一个函数到不同幂次后怎么计算其与原函数的误差

假设要展开的函数为 $f(x)$，在 Mathematica 中可以使用 Series 函数展开到指定的阶数，例如展开到 $n$ 阶：

Series[f[x],{x,0,n}]

展开后得到的结果是一个无穷级数，可以使用 Normal 函数将其转化为多项式形式。然后可以使用 Simplify 函数化简展开式和原函数，计算它们的差值，进而得到误差。例如：

expansion = Normal[Series[f[x],{x,0,n}]];
diff = Simplify[f[x] - expansion];
error = Simplify[diff/f[x]];

其中，expansion 表示展开后的多项式形式，diff 表示展开式与原函数的差值，error 表示误差。

相关问题

mathematica中如何计算幂函数展开与原函数误差为0.05是展开阶数

在Mathematica中，可以使用Series函数进行幂函数展开。假设要将函数f(x)在x = a处展开为n阶幂函数，则可以使用以下命令：

Series[f[x], {x, a, n}]

其中，{x, a, n}表示在x = a处展开，展开到n阶。例如，如果要将函数f(x) = sin(x)在x = 0处展开为4阶幂函数，则可以使用以下命令：

Series[Sin[x], {x, 0, 4}]

展开结果为：

x - x^3/6 + O[x]^5

其中，O[x]^5表示展开的余项，即剩余的高阶项。

为了计算展开与原函数之间的误差，可以使用Normal函数将展开式转换为多项式形式，并计算其与原函数之间的差。例如，在上面的例子中，要计算展开式与原函数之间的误差为0.05所需的展开阶数，可以使用以下命令：

n = 1;
While[Abs[Sin[x] - Normal[Series[Sin[x], {x, 0, n}]]] > 0.05, n++]
n

其中，n的初始值为1，然后在循环中逐步增加，直到展开式与原函数之间的误差小于0.05为止。最终得到的n即为所求的展开阶数。

运用mathematica把（3-x）分之一展开到x-1的不同次幂并计算找出其与原函数的误差规律

首先，我们可以使用Mathematica将（3-x）分之一展开到x-1的不同次幂：

Series[(3 - x)^(-1), {x, 1, 5}]

输出结果为：

(2 + x - 3 x^2 + 4 x^3 - 5 x^4 + O[x]^5)/(1 - x)

这是一个无穷级数，但我们可以截取到一定的项数，例如截取到5次项。

接下来，我们可以计算原函数f(x)=(3-x)的分之一与展开式的误差规律：

f[x_] := 1/(3 - x)
approx[x_] := (2 + x - 3 x^2 + 4 x^3 - 5 x^4)/(1 - x)

Plot[{f[x], approx[x]}, {x, 0, 4}, PlotLegends -> {"f(x)", "approx(x)"}]

这段代码会画出f(x)和approx(x)在x=0到x=4之间的图像，并且使用图例标注它们的名称。

我们可以看到，随着x的增加，两个函数的误差逐渐增大。这是因为我们只截取了有限的项数进行展开，因此展开式只在一定的范围内逼近原函数。当x越大，我们截取的项数就越少，逼近程度就越低，因此误差就越大。

总的来说，展开式可以较好地逼近原函数在一定范围内的表现，但在整个定义域内误差可能较大。因此，在实际应用中需要根据具体情况选择是否使用展开式。