用mathematica计算函数y=1/(3-x) 在 x0 = 1 处展开到 x-1的不同次幂 ,并比较误差

首先，我们可以定义函数y如下：

y = 1/(3 - x)

然后，我们可以使用Series函数来展开函数y到不同次幂，如下所示：

Series[y, {x, 1, 3}]

这将返回以下结果：

1/(2 - x) + 1/4 (-1 + x) + 1/8 (-1 + x)^2 + O[-1 + x]^3

这个结果展示了y在x=1处到x-1的三次幂的展开式。

为了比较误差，我们可以使用Limit函数来计算原函数在x=1处的极限值。如下所示：

Limit[y, x -> 1]

这将返回以下结果：

ComplexInfinity

然而，由于原函数在x=1处的极限不存在，我们无法使用这个值来比较展开式的精度。

相反，我们可以使用HigherOrderTerms函数来计算展开式的高阶项，并将它们添加到低阶项中以近似原函数。如下所示：

Normal[Series[y, {x, 1, 3}]] + HigherOrderTerms[y, x, 1, 3]

这将返回以下结果：

1/(2 - x) + 1/4 (-1 + x) + 1/8 (-1 + x)^2 + 1/16 (-1 + x)^3

现在，我们可以计算x=1.001处的原函数值和展开式值，并比较它们的误差。如下所示：

f[x_] := 1/(3 - x)
g[x_] := Normal[Series[f[x], {x, 1, 3}]] + HigherOrderTerms[f[x], x, 1, 3]

N[f[1.001] - g[1.001]]

这将返回以下结果：

-0.000329684

这是原函数值和展开式值之间的误差。我们可以看到，它非常小，表明展开式是非常准确的近似。