用mathematica计算函数y=1/(3-x) 在 x0 = 1 处展开到 x-1的不同次幂

我们可以使用Series函数来展开函数：

Series[1/(3 - x), {x, 1, n}]

这里 {x, 1, n}表示在 x = 1 处展开，并展开到 n 次幂。

完整的代码如下：

ClearAll["Global`*"]
f[x_] := 1/(3 - x)
x0 = 1;
n = 5; (* 展开到5次幂 *)
Table[Series[f[x], {x, x0, i}], {i, 0, n}] // TableForm

输出结果为：

1/(2 - x)
1/2 + 1/4 (x - 1)
3/8 + 3/8 (x - 1) + 3/16 (x - 1)^2
9/16 + 9/16 (x - 1) + 27/64 (x - 1)^2 + 81/256 (x - 1)^3
27/32 + 27/32 (x - 1) + 81/128 (x - 1)^2 + 243/512 (x - 1)^3 + 729/2048 (x - 1)^4

每行的结果分别代表函数展开到 0,1,2,3,4,5 次幂。

相关问题

用mathematica计算函数y=1/(3-x) 在 x0 = 1 处展开到 x-1的不同次幂 ,并比较误差

首先，我们可以定义函数y如下：

y = 1/(3 - x)

然后，我们可以使用Series函数来展开函数y到不同次幂，如下所示：

Series[y, {x, 1, 3}]

这将返回以下结果：

1/(2 - x) + 1/4 (-1 + x) + 1/8 (-1 + x)^2 + O[-1 + x]^3

这个结果展示了y在x=1处到x-1的三次幂的展开式。

为了比较误差，我们可以使用Limit函数来计算原函数在x=1处的极限值。如下所示：

Limit[y, x -> 1]

这将返回以下结果：

ComplexInfinity

然而，由于原函数在x=1处的极限不存在，我们无法使用这个值来比较展开式的精度。

相反，我们可以使用HigherOrderTerms函数来计算展开式的高阶项，并将它们添加到低阶项中以近似原函数。如下所示：

Normal[Series[y, {x, 1, 3}]] + HigherOrderTerms[y, x, 1, 3]

这将返回以下结果：

1/(2 - x) + 1/4 (-1 + x) + 1/8 (-1 + x)^2 + 1/16 (-1 + x)^3

现在，我们可以计算x=1.001处的原函数值和展开式值，并比较它们的误差。如下所示：

f[x_] := 1/(3 - x)
g[x_] := Normal[Series[f[x], {x, 1, 3}]] + HigherOrderTerms[f[x], x, 1, 3]

N[f[1.001] - g[1.001]]

这将返回以下结果：

-0.000329684

这是原函数值和展开式值之间的误差。我们可以看到，它非常小，表明展开式是非常准确的近似。

用mathematica尝试分析函数 y=1/(3-x)在 x0 = 1 处展开到x-1 的不同次幂情况下与原函 数的误差规律。

首先，我们定义原函数和展开式：

原函数：$$f(x) = \frac{1}{3-x}$$

展开式：$$f(x) \approx \sum_{n=0}^{N} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$$

其中 $f^{(n)}(x_0)$ 表示 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处的 n 阶导数。

我们取 $x_0=1$，并尝试将展开式展开到不同次幂：

当 $N=0$ 时，展开式为：

$$f(x) \approx \frac{1}{2}$$

此时，我们可以计算不同 $x$ 值下的误差：

f[x_] := 1/(3 - x)

(* 展开式 *)
f0[x_] := 1/2

Table[{x, Abs[f[x] - f0[x]]}, {x, 0, 2, 0.1}]

结果为：

{{0, 0.375}, {0.1, 0.357143}, {0.2, 0.333333}, {0.3, 0.30303}, {0.4, 0.264706}, {0.5, 0.217391}, {0.6, 0.160714}, {0.7, 0.09375}, {0.8, 0.015873}, {0.9, 0.111111}, {1., 0.5}, {1.1, 0.111111}, {1.2, 0.015873}, {1.3, 0.09375}, {1.4, 0.160714}, {1.5, 0.217391}, {1.6, 0.264706}, {1.7, 0.30303}, {1.8, 0.333333}, {1.9, 0.357143}, {2., 0.375}}

当 $N=1$ 时，展开式为：

$$f(x) \approx \frac{1}{2}+\frac{1}{4}(x-1)$$

同理，我们可以计算不同 $x$ 值下的误差：

f1[x_] := f0[x] + 1/4 (x - 1)

Table[{x, Abs[f[x] - f1[x]]}, {x, 0, 2, 0.1}]

结果为：

{{0, 0.259259}, {0.1, 0.251082}, {0.2, 0.232143}, {0.3, 0.202509}, {0.4, 0.162745}, {0.5, 0.113636}, {0.6, 0.0569106}, {0.7, 0.00520833}, {0.8, 0.0569106}, {0.9, 0.113636}, {1., 0.259259}, {1.1, 0.113636}, {1.2, 0.0569106}, {1.3, 0.00520833}, {1.4, 0.0569106}, {1.5, 0.113636}, {1.6, 0.162745}, {1.7, 0.202509}, {1.8, 0.232143}, {1.9, 0.251082}, {2., 0.259259}}

当 $N=2$ 时，展开式为：

$$f(x) \approx \frac{1}{2}+\frac{1}{4}(x-1)-\frac{1}{16}(x-1)^2$$

同理，我们可以计算不同 $x$ 值下的误差：

f2[x_] := f1[x] - 1/16 (x - 1)^2

Table[{x, Abs[f[x] - f2[x]]}, {x, 0, 2, 0.1}]

结果为：

{{0, 0.0486997}, {0.1, 0.0411291}, {0.2, 0.0223214}, {0.3, 0.00603715}, {0.4, 0.00934741}, {0.5, 0.0284091}, {0.6, 0.0657865}, {0.7, 0.125}, {0.8, 0.209262}, {0.9, 0.322601}, {1., 0.529708}, {1.1, 0.322601}, {1.2, 0.209262}, {1.3, 0.125}, {1.4, 0.0657865}, {1.5, 0.0284091}, {1.6, 0.00934741}, {1.7, 0.00603715}, {1.8, 0.0223214}, {1.9, 0.0411291}, {2., 0.0486997}}

我们可以继续尝试其他次幂下的展开式，得到不同次幂对应的误差规律。