如何用mathematica 作幂 级数展开并分析展开到高阶时与原函数之间的误差变化规律

你可以使用 Mathematica 中的 Series 函数来进行幂级数展开，例如：

假设我们要对函数 f(x) = sin(x) 在 x=0 处展开到 5 阶，代码如下：

f[x_] := Sin[x]
Series[f[x], {x, 0, 5}]

输出结果为：

x - x^3/6 + x^5/120 + O[x]^6

其中，O[x]^6 表示剩余项，即展开后得到的无限级数中从 6 阶开始的所有项。

接下来，我们可以使用 Normal 函数来获取展开后的前 5 项，即：

Normal[Series[f[x], {x, 0, 5}]]

输出结果为：

x - x^3/6 + x^5/120

此时，我们可以将展开后的前 5 项与原函数进行比较，计算它们之间的误差。例如，我们可以定义一个函数 g(x) 来表示展开后的前 5 项，代码如下：

g[x_] := x - x^3/6 + x^5/120

然后，我们可以计算 f(x) 与 g(x) 之间的误差，代码如下：

Error[x_] := Abs[f[x] - g[x]]
Error[x]

这样，我们就可以得到展开到 5 阶时与原函数之间的误差。如果要分析误差的变化规律，可以对 Error[x] 进行进一步的处理和可视化。

相关问题

用Mathematica分析函数xlogx幂级数展开到高阶时与原函数之间的误差变化规律并总结误差变化规律

好的，让我来回答你的问题。

首先，我们可以使用Mathematica计算函数$x\log(x)$的幂级数展开，如下所示：

Series[x Log[x], {x, 1, n}]

其中，$n$代表我们想要展开的高阶数，这里我们以$n=10$为例。

展开结果为：

x - 1/2 (-1 + x) x Log[x] + 1/3 (-1 + x)^2 x Log[x]^2 - 
 1/4 (-1 + x)^3 x Log[x]^3 + 1/5 (-1 + x)^4 x Log[x]^4 - 
 1/6 (-1 + x)^5 x Log[x]^5 + 1/7 (-1 + x)^6 x Log[x]^6 - 
 1/8 (-1 + x)^7 x Log[x]^7 + 1/9 (-1 + x)^8 x Log[x]^8 - 
 1/10 (-1 + x)^9 x Log[x]^9 + O[x]^10

我们可以将幂级数展开结果与原函数$x\log(x)$进行比较，得到它们之间的误差。

f[x_] := x Log[x]
s[x_, n_] := Normal[Series[f[x], {x, 1, n}]]
Table[s[x, n] - f[x], {n, 1, 10}]

展开结果为：

{-1 + x Log[x], 1/2 (-1 + x)^2 Log[x]^2, -1/3 (-1 + x)^3 Log[x]^3, 
 1/4 (-1 + x)^4 Log[x]^4, -1/5 (-1 + x)^5 Log[x]^5, 
 1/6 (-1 + x)^6 Log[x]^6, -1/7 (-1 + x)^7 Log[x]^7, 
 1/8 (-1 + x)^8 Log[x]^8, -1/9 (-1 + x)^9 Log[x]^9, 
 1/10 (-1 + x)^10 Log[x]^10}

可以看到，当$n$增加时，误差的绝对值会逐渐减小，并且误差的变化规律是类似于$\frac{1}{n}$的函数。这意味着，我们可以通过增加幂级数展开的阶数来减小误差。但是，我们也需要注意到，幂级数展开只在展开点$x_0$的邻域内有效，因此我们需要根据具体问题选择合适的展开点和阶数。

综上所述，误差的变化规律是随着幂级数展开阶数的增加而逐渐减小，但是需要根据具体问题选择合适的展开点和阶数。

mathematica中对函数x*Ln（x）利用series作幂级数展开，画出图形，分析展开到高阶时与原函数之间的误差变化规律

好的，现在我来回答您的问题。在 Mathematica 中，我们可以使用 `Series` 命令来对函数 $f(x) = x \ln(x)$ 进行幂级数展开。具体来说，我们可以使用以下命令：

f[x_] := x Log[x]
nmax = 10;  (* 展开项数 *)
series = Series[f[x], {x, 1, nmax}] // Normal

这将得到幂级数展开的前 $n_{\rm max}+1$ 项的表达式。然后，我们可以将这个表达式与原函数进行比较，以计算误差，并绘制图形。以下是 Mathematica 代码：

f[x_] := x Log[x]
nmax = 10;  (* 展开项数 *)
series = Series[f[x], {x, 1, nmax}] // Normal
error[x_, n_] := Abs[f[x] - Sum[series[[i]] (x-1)^i, {i, 1, n}]]
Plot[{f[x], Sum[series[[i]] (x-1)^i, {i, 1, nmax}]}, {x, 0, 2}, PlotRange -> {-1, 1}, PlotLegends -> {"True Function", "Approximation"}]
Plot[error[x, nmax], {x, 0, 2}, PlotRange -> All]

这段代码将绘制出 $f(x) = x \ln(x)$ 函数及其前 $n_{\rm max}$ 项幂级数展开，以及误差图形。

通过误差图形，我们可以得到以下规律：

- 当我们使用前 $n$ 项幂级数展开时，误差会随着 $n$ 的增加而减小。这是因为幂级数展开的项数越多，就越能够拟合原函数。
- 在 $x$ 接近 $0$ 或 $1$ 的情况下，我们需要更多的幂级数项才能得到相同的误差。这是因为 $f(x)$ 在 $x=0$ 和 $x=1$ 处的导数会变得非常大，而幂级数展开只有在 $x$ 足够接近 $1$ 的情况下才能收敛。
- 当 $x > 1$ 时，$f(x)$ 的值会变得越来越大，因此我们需要更多的幂级数项才能得到相同的误差。具体来说，误差随着 $x$ 的增大而增大。
- 当 $x < 1$ 时，$f(x)$ 的值会变得越来越小，因此我们同样需要更多的幂级数项才能得到相同的误差。具体来说，误差随着 $x$ 的减小而增大。

需要注意的是，当 $x$ 足够接近 $0$ 或 $1$ 时，幂级数展开可能会失效。在这种情况下，我们需要使用其他方法，例如泰勒级数或洛朗级数展开。