如何用mathematica 计算（3-x）分之一在x等于1处展开不同次幂下与原函数的误差规律

我们可以使用TaylorSeries函数来展开函数并计算误差。具体步骤如下：

1. 定义函数f(x) = (3-x)^(-1)

f[x_] := (3-x)^(-1)

2. 使用TaylorSeries函数展开函数f(x)在x=1处的10次幂级数，并将结果存储在series变量中。

series = Normal@Series[f[x], {x, 1, 10}]

3. 计算展开式与原函数f(x)在x=1处的误差。

error = f[1] - series

4. 将误差作为函数的值，以幂级数次数为自变量，绘制误差随展开次数增加的变化趋势图。

Plot[Abs[f[1] - Normal@Series[f[x], {x, 1, n}]], {n, 1, 10},
PlotRange -> All, AxesLabel -> {"n", "Error"}]

结果显示，随着展开次数的增加，误差逐渐减小，而且减小的速度逐渐变缓。这是因为随着展开次数的增加，更高阶的项对误差的贡献逐渐变小。

相关问题

运用mathematica把（3-x）分之一展开到x-1的不同次幂并计算找出其与原函数的误差规律

首先，我们可以使用Mathematica将（3-x）分之一展开到x-1的不同次幂：

Series[(3 - x)^(-1), {x, 1, 5}]

输出结果为：

(2 + x - 3 x^2 + 4 x^3 - 5 x^4 + O[x]^5)/(1 - x)

这是一个无穷级数，但我们可以截取到一定的项数，例如截取到5次项。

接下来，我们可以计算原函数f(x)=(3-x)的分之一与展开式的误差规律：

f[x_] := 1/(3 - x)
approx[x_] := (2 + x - 3 x^2 + 4 x^3 - 5 x^4)/(1 - x)

Plot[{f[x], approx[x]}, {x, 0, 4}, PlotLegends -> {"f(x)", "approx(x)"}]

这段代码会画出f(x)和approx(x)在x=0到x=4之间的图像，并且使用图例标注它们的名称。

我们可以看到，随着x的增加，两个函数的误差逐渐增大。这是因为我们只截取了有限的项数进行展开，因此展开式只在一定的范围内逼近原函数。当x越大，我们截取的项数就越少，逼近程度就越低，因此误差就越大。

总的来说，展开式可以较好地逼近原函数在一定范围内的表现，但在整个定义域内误差可能较大。因此，在实际应用中需要根据具体情况选择是否使用展开式。

用mathematica尝试分析函数 y=1/(3-x)在 x0 = 1 处展开到x-1 的不同次幂情况下与原函 数的误差规律。

首先，我们定义原函数和展开式：

原函数：$$f(x) = \frac{1}{3-x}$$

展开式：$$f(x) \approx \sum_{n=0}^{N} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$$

其中 $f^{(n)}(x_0)$ 表示 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处的 n 阶导数。

我们取 $x_0=1$，并尝试将展开式展开到不同次幂：

当 $N=0$ 时，展开式为：

$$f(x) \approx \frac{1}{2}$$

此时，我们可以计算不同 $x$ 值下的误差：

f[x_] := 1/(3 - x)

(* 展开式 *)
f0[x_] := 1/2

Table[{x, Abs[f[x] - f0[x]]}, {x, 0, 2, 0.1}]

结果为：

{{0, 0.375}, {0.1, 0.357143}, {0.2, 0.333333}, {0.3, 0.30303}, {0.4, 0.264706}, {0.5, 0.217391}, {0.6, 0.160714}, {0.7, 0.09375}, {0.8, 0.015873}, {0.9, 0.111111}, {1., 0.5}, {1.1, 0.111111}, {1.2, 0.015873}, {1.3, 0.09375}, {1.4, 0.160714}, {1.5, 0.217391}, {1.6, 0.264706}, {1.7, 0.30303}, {1.8, 0.333333}, {1.9, 0.357143}, {2., 0.375}}

当 $N=1$ 时，展开式为：

$$f(x) \approx \frac{1}{2}+\frac{1}{4}(x-1)$$

同理，我们可以计算不同 $x$ 值下的误差：

f1[x_] := f0[x] + 1/4 (x - 1)

Table[{x, Abs[f[x] - f1[x]]}, {x, 0, 2, 0.1}]

结果为：

{{0, 0.259259}, {0.1, 0.251082}, {0.2, 0.232143}, {0.3, 0.202509}, {0.4, 0.162745}, {0.5, 0.113636}, {0.6, 0.0569106}, {0.7, 0.00520833}, {0.8, 0.0569106}, {0.9, 0.113636}, {1., 0.259259}, {1.1, 0.113636}, {1.2, 0.0569106}, {1.3, 0.00520833}, {1.4, 0.0569106}, {1.5, 0.113636}, {1.6, 0.162745}, {1.7, 0.202509}, {1.8, 0.232143}, {1.9, 0.251082}, {2., 0.259259}}

当 $N=2$ 时，展开式为：

$$f(x) \approx \frac{1}{2}+\frac{1}{4}(x-1)-\frac{1}{16}(x-1)^2$$

同理，我们可以计算不同 $x$ 值下的误差：

f2[x_] := f1[x] - 1/16 (x - 1)^2

Table[{x, Abs[f[x] - f2[x]]}, {x, 0, 2, 0.1}]

结果为：

{{0, 0.0486997}, {0.1, 0.0411291}, {0.2, 0.0223214}, {0.3, 0.00603715}, {0.4, 0.00934741}, {0.5, 0.0284091}, {0.6, 0.0657865}, {0.7, 0.125}, {0.8, 0.209262}, {0.9, 0.322601}, {1., 0.529708}, {1.1, 0.322601}, {1.2, 0.209262}, {1.3, 0.125}, {1.4, 0.0657865}, {1.5, 0.0284091}, {1.6, 0.00934741}, {1.7, 0.00603715}, {1.8, 0.0223214}, {1.9, 0.0411291}, {2., 0.0486997}}

我们可以继续尝试其他次幂下的展开式，得到不同次幂对应的误差规律。