对函数f（x）=x 作幂级数展开，画 出图形，分析展开到与原函数之间的误差为 5%，1%，0.1%时的展开项级数规律

函数f(x) = x在x=0处的幂级数展开式为:

f(x) = x

误差可以使用泰勒展开的余项来计算，即

R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}x^{n+1}

其中，\xi是x和0之间的某个数，可以是介于它们之间的任何值。

当展开项级数n很大时，幂级数展开与原函数之间的误差会逐渐减小，可以通过不断增加n来减小误差。具体来说，当展开到与原函数之间的误差为5%，1%，0.1%时，需要满足以下条件：

当误差为5%时，

|R_n(x)/f(x)| <= 0.05

即

|\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}| <= 0.05

解出n的值即可得到展开项级数规律。

当误差为1%或0.1%时，同理可得到展开项级数规律。

下面是展开项级数规律的一些示例：

当误差为5%时，展开项级数n至少要满足

n >= 4

当误差为1%时，展开项级数n至少要满足

n >= 6

当误差为0.1%时，展开项级数n至少要满足

n >= 9

使用Mathematica可以很容易地计算幂级数展开式，并绘制出原函数和展开函数的图形，下面是一个示例代码：

f[x_] := x;
n = 4;
Plot[{f[x], Normal[Series[f[x], {x, 0, n}]]}, {x, -1, 1}]

这段代码会绘制出f(x)=x及其展开函数（展开到4阶）的图形。

如果需要计算误差和展开项级数规律，可以使用类似下面的代码：

f[x_] := x;
n = 0;
tolerance = 0.001;
While[Abs[(x^(n+1))/(n+1)!] > tolerance, n++];
Print[n];
Print["Error: ", Abs[(x^(n+1))/(n+1)!]];
Plot[{f[x], Normal[Series[f[x], {x, 0, n}]]}, {x, -1, 1}]

这段代码会计算展开项级数规律，并绘制出原函数及其展开函数的图形。其中，tolerance是误差限制，可以根据需要进行调整。