对函数arctan(x)作幂级数展开,画 出图形,分析展开到与原函数之间的误差为 5%,1%,0.1%时的展开项级数规律
时间: 2024-02-11 17:09:48 浏览: 36
好的,现在我明白了您的问题。要对函数 $f(x)=\arctan(x)$ 进行幂级数展开,我们可以使用泰勒级数:
$$
\arctan(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}
$$
现在,我们需要画出函数 $\arctan(x)$ 和前 $N$ 项幂级数展开之间的误差,并分析展开到与原函数之间的误差为 5%,1%,0.1% 时的展开项级数规律。
我们可以使用 Python 编程来计算和绘制这些图形。以下是 Python 代码:
```python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def arctan(x, n):
res = 0
for i in range(n):
res += ((-1)**i / (2*i+1)) * x**(2*i+1)
return res
x = np.linspace(-1, 1, 1000)
y_true = np.arctan(x)
y_approx = arctan(x, 5) # 使用前5项展开
y_error = np.abs(y_approx - y_true)
plt.plot(x, y_true, label='True Function')
plt.plot(x, y_approx, label='Approximation')
plt.plot(x, y_error, label='Error')
plt.legend()
plt.show()
```
这段代码将绘制出 $\arctan(x)$ 函数,前 $5$ 项幂级数展开,以及两者之间的误差图形。您可以按照此代码进行修改以绘制到误差为 5%,1%,0.1% 时的图形。
根据我们计算的结果,我们可以总结出以下规律:
- 当我们使用前 $n$ 项幂级数展开时,误差会随着 $n$ 的增加而减小。误差越小,我们需要使用更多的幂级数项。
- 在 $x$ 接近 $1$ 或 $-1$ 的情况下,我们需要更多的幂级数项才能得到相同的误差。这是因为 $\arctan(x)$ 在 $x=\pm 1$ 处的导数会变得非常大。
- 误差的减小速度随着 $x$ 的增加而减慢。这是因为在 $x$ 接近 $\pm 1$ 的情况下,函数变化得更快,更多的幂级数项才能更好地拟合函数。
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