mathematica如何对函数分析展开到与原函数之间的误差为 5%，1%，0.1%时的展开项级数规律

要对一个函数进行展开分析，可以使用Mathematica中的Series函数。Series函数的一般语法如下：

Series[f[x], {x, x0, n}]

其中，f]是要展开的函数，{x, x0, n}表示展开的中心点x0以及展开的阶数n。

要求展开到与原函数之间的误差为5%、1%、0.1%，可以通过指定展开的阶数来实现。具体来说，可以先将原函数展开到一个足够高的阶数，然后计算展开项与原函数之间的误差，根据误差的大小来确定所需的展开阶数。

以下是一个例子，假设要对函数f[x] = Sin[x] 进行展开分析，求出展开项与原函数之间的误差为5%、1%、0.1%时的展开项级数规律：

f[x_] := Sin[x]

x0 = 0; (* 展开的中心点 *)
nmax = 20; (* 最高展开阶数 *)

(* 定义展开函数 *)
s[n_] := Series[f[x], {x, x0, n}]

(* 定义误差函数 *)
err[n_] := Abs[f[x] - s[n]]/f[x]

(* 计算并打印展开项与原函数之间的误差 *)
TableForm[Table[{n, 100*err[n]}, {n, 1, nmax}], 
 TableHeadings -> {None, {"展开阶数", "误差（%）"}}]

(* 找到满足误差要求的最小展开阶数 *)
n5 = Ceiling@N@FindRoot[err[n] == 0.05, {n, 10}, WorkingPrecision -> 20][[1]];
n1 = Ceiling@N@FindRoot[err[n] == 0.01, {n, 10}, WorkingPrecision -> 20][[1]];
n01 = Ceiling@N@FindRoot[err[n] == 0.001, {n, 10}, WorkingPrecision -> 20][[1]];

(* 打印结果 *)
Print["展开阶数："];
Print["误差5%：", n5];
Print["误差1%：", n1];
Print["误差0.1%：", n01];

在上面的代码中，我们首先定义了要展开分析的函数f[x]，然后通过定义展开函数s[n]和误差函数err[n]来计算展开项与原函数之间的误差。接着，我们使用Table函数打印了展开阶数与误差之间的对应关系，方便我们找到满足误差要求的最小展开阶数。最后，我们通过FindRoot函数求解方程err[n]=误差要求，得到了展开项与原函数之间误差为5%、1%、0.1%时的展开阶数。