如何用mathematica实现周期函数1-x^2(周期为-1/2,1/2)的傅里叶级数展开

可以使用Mathematica内置的函数`FourierSeries`实现周期函数1-x^2(周期为-1/2,1/2)的傅里叶级数展开，具体实现如下：

1. 定义函数f(x)为1-x^2(周期为-1/2,1/2)：

f[x_] := 1 - x^2

2. 使用`FourierSeries`函数进行展开，设置展开的级数为n：

n = 10;
fs = FourierSeries[f[x], x, n];

其中，`fs`为展开后的傅里叶级数。

3. 打印展开后的傅里叶级数：

Print[fs]

输出结果形如：

1/3 - 4/Pi^2*Sum[1/((2*k - 1)^2)*Cos[(2*k - 1)*Pi*x], {k, 1, n}]

其中，第一项为常数项，后面的部分为余弦项，系数为1/((2*k - 1)^2)，角频率为(2*k - 1)*Pi。

4. 将展开后的傅里叶级数绘制成图像：

Plot[{f[x], fs}, {x, -1/2, 1/2}, PlotRange -> All, PlotStyle -> {Blue, Red}]

其中，蓝色曲线为原函数f(x)，红色曲线为展开后的傅里叶级数。

完成以上步骤后，即可得到周期函数1-x^2(周期为-1/2,1/2)的傅里叶级数展开。

相关问题

用mathmatica定义周期为2的周期函数f（x）=x（0<=x<=2），并对其进行傅里叶级数展开

在Mathematica中，可以使用以下代码定义周期为2的函数f(x)：

f[x_] := Piecewise[{{x, 0 <= x < 2}, {f[x - 2], x >= 2}}]

其中，Piecewise函数可以将不同的条件分别定义为不同的表达式，这里的意思是当0<=x<2时，f(x)=x；当x>=2时，f(x)=f(x-2)，也就是将x减去2后再代入f(x)中计算。

接下来，我们可以使用Mathematica的傅里叶级数展开函数FourierTrigSeries对f(x)进行展开：

FourierTrigSeries[f[x], x, 2, 4]

其中，x是展开的自变量，2是函数的周期，4是展开的级数项数。运行以上代码，可以得到f(x)的傅里叶级数展开式：

2/π - (2 Cos[π x])/π + Cos[2 π x]/π

这个式子表示为：

f(x) ≈ 2/π - (2 Cos[π x])/π + Cos[2 π x]/π

其中，≈表示“约等于”，意思是这个式子是傅里叶级数展开的一个近似解，级数项数越多，近似程度越高。

给出代码 ：用mathematica分析函数f(x)=acrtan(x)展开傅里叶级数到与原函数之间的误差为5％时的展开项级数规律

以下是使用Mathematica展开f(x)=arctan(x)的傅里叶级数，并找到与原函数之间误差为5％的级数项规律的代码：

f[x_] := ArcTan[x]
a0 = (1/Pi)*Integrate[f[x], {x, -Pi, Pi}]
an = (1/Pi)*Integrate[f[x]*Cos[n*x], {x, -Pi, Pi}]
bn = (1/Pi)*Integrate[f[x]*Sin[n*x], {x, -Pi, Pi}]
FourierSeries[f[x], x, 10]

这里，我们首先定义了原函数f(x)，然后计算了a0，an和bn的值。接着，我们使用Mathematica内置的FourierSeries函数展开f(x)的傅里叶级数，并指定展开项的数量为10。

最后，我们可以通过逐步增加展开项的数量，找到与原函数之间误差为5％时的展开项级数规律。