已知函数f(x)=x(1-lnx),讨论f(x)的单调性

### 回答1：

首先，我们需要求出函数f(x)的一阶导数和二阶导数：

f(x) = x(1-lnx)

f'(x) = 1-lnx - x*(1/x)
= -lnx

f''(x) = -1/x

根据导数的定义，f'(x)表示函数f(x)在点x处的斜率，f''(x)表示函数f(x)在点x处的曲率。

由于f''(x)恒小于零，即函数f(x)的二阶导数恒为负，因此f(x)是凹函数。

又因为f'(x) = -lnx 恒小于零，所以函数f(x)在定义域 (0, +∞) 内单调递减。

综上所述，函数f(x)=x(1-lnx)在定义域 (0, +∞) 内是单调递减的。

### 回答2：
首先，我们可以对函数f(x)=x(1-lnx)进行求导来研究它的单调性。

求导后，得到f'(x)=1-lnx-1。为了研究f(x)的单调性，我们需要求f'(x)=0的解，并根据导数的正负来确定函数的单调性。

要找到f'(x)=1-lnx-1=0的解，我们可以将其化简为lnx=0，进一步得到x=e。

当x<e时，lnx<ln(e)=1，所以f'(x)>0，即f(x)在区间(0,e)上是单调递增的。

当x>e时，lnx>ln(e)=1，所以f'(x)<0，即f(x)在区间(e,+∞)上是单调递减的。

综上所述，函数f(x)在区间(0,e)上是单调递增的，在区间(e,+∞)上是单调递减的。

### 回答3：
要讨论函数f(x)=x(1-lnx)的单调性，我们需要分析函数的导数。

首先，计算函数f(x)的导数f'(x)：
f'(x)可以使用乘积法则来求导，即：
f'(x) = x(1/1) + (1-lnx)(1)
= x + 1 - lnx

接下来，我们来分析f'(x)的符号。

当x>1时，f'(x) = x + 1 - lnx > x + 1 - ln1 = x + 1 > 0
当0<x<1时，f'(x) = x + 1 - lnx < 1 + 1 - ln1 = 2 - 0 = 2 > 0
当x=1时，f'(x) = 1 + 1 - ln1 = 1 + 1 - 0 = 2 > 0

由上述分析可知，函数f(x)的导数f'(x)在定义域内始终大于0，即f'(x)始终大于0。
根据单调性的定义，如果函数的导数在定义域内始终大于0，则函数在该定义域内是单调递增的。

因此，函数f(x)=x(1-lnx)在定义域内是单调递增的。