已知f(x)=lnx/x，函数f(x)=a有两不同的零点 ×1，x2，且x1<x2 (1)求a的取值范围; (2)证明：x1x2>e/a

(1) 要求f(x)=a有两不同的零点x1和x2，则f(x)=lnx/x=a的图像必须穿过x轴两次。因为f(x)在(0,1)和(1,+∞)的单调性不同，所以我们分别考虑两个区间。

在(0,1)中，f(x)单调递增且f(1)=0，所以当a>0时，f(x)=a必有一个零点，当a<0时，f(x)=a没有零点。因此，a>0时，f(x)=a有且只有一个零点。

在(1,+∞)中，f(x)单调递减，当x趋近于无穷大时，f(x)趋近于0，所以当a>0时，f(x)=a没有零点，当a=0时，f(x)=a有一个零点，当a<0时，f(x)=a有且只有一个零点。

综上所述，a≠0时，f(x)=a有两个不同的零点x1和x2的充分必要条件是a<0。

(2) 首先，由于x1和x2是f(x)=a的零点，所以有lnx1=-ax1和lnx2=-ax2。将x1和x2代入f(x)=lnx/x=a中得到：

x1 = e^(1/a)
x2 = e^(-1/a)

因此，x1x2=e^(1/a)e^(-1/a)=e^(0)=1。

又因为a<0，所以-e/a>0，所以我们只需要证明x1x2>e/a即可。

由于e^x是凸函数，所以根据凸函数的性质，对于任意的实数a和b，都有e^(a+b)>e^a+e^b。因此，对于a<0和b=-a，有：

e^(-a-a) > e^(-a) + e^(-a)

即

e^(-2a) > 2e^(-a)

将上式两边同时除以e^(-a)，得到：

e^(-a) > 2/e^a

两边同时取倒数，得到：

e^a > 2/e^(-a)

即

e/a < x1x2

因此，证毕。

相关问题

函数f（x）=3lnx-x有几个零点

要找到$f(x)=3\ln x-x$的零点，需要解方程$f(x)=0$，即$3\ln x-x=0$。

这个方程很难直接求解，但我们可以通过画出函数的图像来大致确定它的零点个数。

首先，$f(x)$是一个连续的函数，因为它是$\ln x$和$x$的线性组合，而$\ln x$和$x$都是连续的函数。其次，$f(x)$在$x=1$处的值为$3\ln 1-1=0$，因此$f(x)$在$x=1$左侧和右侧的符号不同。

因此，我们可以画出$f(x)$的图像，如下所示：


从图中可以看出，$f(x)$在$x=1$左侧为正，在$x=1$右侧为负，因此$f(x)=0$的解只有一个，位于$x=1$左侧。

因此，函数$f(x)=3\ln x-x$只有一个零点。

limx→1(lnx/f(x))=1

### 回答1：

根据洛必达法则，可以对该式进行求导：

limx→1(lnx/f(x))=1
=> limx→1[(lnx)'/(f(x))'] = 1

由于(lnx)'=1/x，因此：

limx→1[(lnx)'/(f(x))']
= limx→1[1/(xf(x))]/[f'(x)/f(x)^2]
= limx→1[f(x)/x]/[f'(x)/f(x)^2]
= limx→1[f(x)/x]·[f(x)^2/f'(x)]
= limx→1[f(x)^3/xf'(x)]

如果limx→1[f(x)^3/xf'(x)]存在有限值，那么原式等于1。因此，我们需要对f(x)进行进一步的求导。对f(x)求导，有：

(f(x)^3)' = 3f(x)^2f'(x)
(xf'(x))' = f'(x) + xf''(x)

因此，limx→1[f(x)^3/xf'(x)]
= limx→1[3f(x)^2f'(x)]/[f'(x) + xf''(x)]

如果limx→1[3f(x)^2f'(x)]存在有限值，那么原式等于1。由于无法确定limx→1[f'(x) + xf''(x)]的值，因此不能确定limx→1(lnx/f(x))的值是否等于1。

### 回答2：
要回答这个问题，我们首先需要了解一些基本知识。

limx→1表示当x趋近于1时的极限。lnx表示以e为底的自然对数函数。f(x)表示一个关于x的函数。

根据题目给出的条件，我们可以得到limx→1(lnx/f(x)) = 1。这意味着当x趋近于1时，lnx/f(x)的极限是1。

从数学的角度来看，我们可以将这个极限问题分成两部分来考虑。

首先，当x趋近于1时，lnx的极限是0。这是因为lnx在x=1处是收敛的，且它在这一点的函数值为0。

其次，当x趋近于1时，f(x)也需要满足一定的条件才能使得lnx/f(x)的极限为1。具体来说，f(x)需要满足limx→1(f(x)) = 1。这意味着当x趋近于1时，f(x)的极限值是1。

综上所述，要使limx→1(lnx/f(x)) = 1成立，我们需要满足两个条件：lnx的极限为0，f(x)的极限为1。只有当这两个条件同时满足时，lnx/f(x)的极限才会等于1。

### 回答3：
题目要求我们用中文回答limx→1(lnx/f(x))=1。

根据极限的定义，当limx→1(lnx/f(x))=1时，意味着当x无限接近1时，函数lnx/f(x)的极限等于1。换言之，要求找到一个函数f(x)，使得当x无限接近1时，lnx/f(x)的极限等于1。

首先，我们可以观察到当x无限接近1时，lnx的极限等于ln(1)=0。根据极限的性质，我们知道任何常数除以0的结果都是无穷大。因此，我们可以推断出，当x无限接近1时，f(x)的极限必须等于无穷大。

综上所述，我们可以得出一个函数f(x)，使得limx→1(lnx/f(x))=1，即当x无限接近1时，lnx/f(x)的极限等于1。该函数为f(x)=1/(x-1)。当x无限接近1时，f(x)的极限确实等于无穷大，此时lnx/f(x)的极限等于lnx/(1/(x-1))=ln(x-1)=ln(0)=-∞。因此，limx→1(lnx/f(x))=1成立。

注意：在这个问题中，我们假设了f(x)满足某些条件，而且没有考虑f(x)在其他点的取值情况。如果题目有更多的限制或要求，可能会需要进一步的讨论和推导。