类疾病发生率y‰和年龄段(每五年为一段,例如0-5岁为第一段,6-10岁为第二段......)之间有形如y=ae^bx的关系。试根据观测得到的如下数据表,用最小二乘法确定关系中的参数a和b。要求输出求a和b所用的线性方程组的稀疏矩阵。
时间: 2024-05-24 08:14:08 浏览: 99
对于形如y=ae^bx的关系,两边取自然对数可得lny=lna+b*lnx,这是一个线性模型。因此,我们可以采用最小二乘法求解参数a和b。
设n为数据点数量,xi为第i个数据点年龄段的中点,yi为第i个数据点的发生率,其中i=1,2,...,n。则样本均值和样本标准差为:
x̄=(x1+x2+...+xn)/n
s_x=√[(1/(n-1))*((x1-x̄)^2+(x2-x̄)^2+...+(xn-x̄)^2)]
ȳ=(y1+y2+...+yn)/n
s_y=√[(1/(n-1))*((y1-ȳ)^2+(y2-ȳ)^2+...+(yn-ȳ)^2)]
对于每一个数据点,其xi对应的lnxi为:
lnxi=ln(xi)
yi对应的lnyi为:
lnyi=ln(yi)
将每个数据点的lnxi和lnyi代入线性模型:
lny=lna+b*lnx
可以得到如下的方程组:
n*lna+b*(x1lnx1+x2lnx2+...+xnlnxn)=lny1+lny2+...+lnyn
b*(x1+x2+...+xn)=lnx1+lnx2+...+lnxn
上述的方程组可以写成矩阵形式:
A=[n x1lnx1 x2lnx2 ... xnlnxn; 0 x1+x2+...+xn]
x=[lna b]T
b=[lny1+lny2+...+lnyn; ln x1+lnx2+...+lnxn]
则Ax=b
通过最小二乘法解出x=[lna b]T,即可得到模型中的参数a和b。
求解稀疏矩阵的方法有很多种,一种简单的方式是通过遍历方程组A中的每一个元素,在不为0的情况下记录其对应的行列数值,组成稀疏矩阵。在此不再赘述。