matlab 求球体x^2+y^2+z^2≤4被圆柱面x^2+y^2≤2x所截得的立体的体积

首先我们可以画出球体与圆柱面的交线：


可知该交线为在平面 $x=0$ 上的圆形和在平面 $x=y=\sqrt{2}$ 上的圆锥形。因此，该立体的体积可以分为三部分计算：球冠形部分、圆柱形部分和圆锥形部分。

球冠形部分的体积为：

$$V_1=\frac{1}{3}\pi h^2(3r-h)=\frac{1}{3}\pi \left(\sqrt{2}-1\right)^2\left(3\sqrt{2}-\sqrt{2}+1\right)=\frac{8}{3}\pi\left(\sqrt{2}-1\right)^2$$

圆柱形部分的体积为：

$$V_2=\pi r^2h=\pi 1^2\left(\sqrt{2}-\sqrt{2}\right)=0$$

圆锥形部分的体积为：

$$V_3=\frac{1}{3}\pi r^2h=\frac{1}{3}\pi 2\left(\sqrt{2}-\sqrt{2}\right)=0$$

因此，该立体的体积为 $V=V_1+V_2+V_3=\frac{8}{3}\pi\left(\sqrt{2}-1\right)^2$。