轮式移动机器人轨迹跟踪控制

### 关于轮式移动机器人轨迹跟踪控制算法

#### 小车底盘运动学模型介绍
对于轮式移动机器人的轨迹跟踪，首先要建立其运动学模型。该模型描述了车辆的速度、角度以及位置之间的关系。通过定义坐标系并利用几何关系可以推导出相应的方程[^1]。

import numpy as np

def motion_model(x, y, theta, v, omega, dt):
    """
    运动学模型函数
    
    参数:
        x (float): 当前横坐标
        y (float): 当前纵坐标
        theta (float): 当前朝向角(弧度)
        v (float): 线速度(m/s)
        omega (float): 角速度(rad/s)
        dt (float): 时间间隔(s)

    返回:
        tuple: 更新后的状态[x_new, y_new, theta_new]
    """
    x += v * np.cos(theta) * dt
    y += v * np.sin(theta) * dt
    theta += omega * dt
    return x, y, theta

#### PID 控制算法实现路径跟踪
PID控制器是一种广泛应用的比例积分微分控制器，在此背景下用于计算期望转向角和实际转向角之间误差，并据此调整电机转速来减小偏差。具体来说就是根据当前位置与目标点的位置差值作为输入给定到PID模块中去求解最优输出量。

% MATLAB中的简单PID控制器示例
function u = pid_controller(e, kp, ki, kd, prev_error, integral_sum, Ts)
    % e 是当前时刻的误差
    % kp, ki, kd 分别代表比例系数、积分时间和微分时间常数
    % prev_error 上次迭代时的误差
    % integral_sum 积分项累加和
    % Ts 采样周期
    
    derivative = (e - prev_error)/Ts;
    integral_sum = integral_sum + e*Ts;
    
    u = kp*e + ki*integral_sum + kd*derivative;  
end

#### Pure Pursuit 纯追踪算法代码实现
Pure pursuit（纯追踪）算法假设车辆能够沿着曲率半径固定的圆周行驶至前方设定的目标点处停止转弯继续前进直到下一个目标点为止；它主要依赖于寻找最接近但又未到达的理想前瞻距离上的参考点来进行局部规划决策过程。

// C++版本的pure_pursuit核心部分伪码展示
Point getTargetIndex(const std::vector<Point>& path_points,
                     const Point& current_position){
    double min_dist_squared = INFINITY;
    int target_idx = 0;

    for(int i=0;i<path_points.size();i++){
      auto dist_sqrd = distanceSquared(path_points[i],current_position);
      
      if(dist_sqrd <= lookahead_distance_ && dist_sqrd < min_dist_squared){
          min_dist_squared = dist_sqrd;
          target_idx = i;
      }
    }

    return path_points[target_idx];
}

#### Stanley 控制器原理说明
Stanley 控制器同样适用于解决横向偏移问题即保持车身始终平行于理想路线方向而不偏离过多。这种方法综合考虑到了航向角差异和平面位姿变化两个方面因素的影响从而使得整个系统的鲁棒性和适应能力得到显著提升。

double stanleyControl(double yaw_err,double cross_track_err,double velocity){
     // 计算stanley控制律下的总转向指令
     double steer_angle = atan((k_e_*cross_track_err)/(velocity)+tan(yaw_err));
     
     // 防止过大的舵机动作造成不稳定现象发生
     if(fabs(steer_angle)>max_steer_angle_)
         steer_angle=(steer_angle>0)? max_steer_angle_:(-max_steer_angle_);
         
     return steer_angle;
}

以上介绍了几种常见的轮式移动机器人轨迹跟踪控制策略及其对应的简易编程实例。每种方式都有各自的特点和适用范围，可以根据具体的项目需求选取合适的解决方案。