给我一个谱元法求解偏微分方程边值问题的matlab程序

以下是一个使用谱元法求解偏微分方程边值问题的MATLAB程序：

% 定义边值问题
f = @(x) sin(pi*x);
u_exact = @(x) (1/pi)*sin(pi*x);
a = 0;
b = 1;
alpha = 0;
beta = 0;

% 设定谱元参数
N = 10; % 谱元数量
r = 2; % 多项式基函数的次数
x = linspace(a, b, N)';
X = linspace(a, b, 100)';

% 构建刚度矩阵和载荷向量
K = zeros(N, N);
F = zeros(N, 1);
for i = 1:N
    for j = 1:N
        K(i,j) = integral(@(t) p(x(i), t).*p(x(j), t)./q(t), a, b);
    end
    F(i) = integral(@(t) f(t).*p(x(i), t)./q(t), a, b);
end

% 添加边界条件
K(1, :) = 0;
K(1, 1) = 1;
F(1) = alpha;
K(N, :) = 0;
K(N, N) = 1;
F(N) = beta;

% 解线性方程组
c = K\F;

% 计算解析解和数值解
u = zeros(size(X));
for i = 1:length(X)
    u(i) = sum(c.*p(x, X(i)));
end
u_e = u_exact(X);

% 绘制图像
plot(X, u, 'b-', X, u_e, 'r--');
legend('Numerical solution', 'Analytical solution');
xlabel('x');
ylabel('u(x)');
title('Solution of differential equation using spectral element method');

% 定义多项式基函数和权函数
function y = p(x, t)
    y = (x - t).^(r-1) .* (x - t + (x - t == 0)*eps) .^ (r-2) .* (x - t - (x - t == 0)*eps) .^ (r-2);
end

function y = q(x)
    y = 1 ./ (1 + x);
end

这个程序使用了谱元法来求解一个边界值问题 $u''(x) + \frac{1}{1+x}u(x) = \sin(\pi x)$，其中 $u(0) = 0$ 和 $u(1) = 0$。程序中的函数 $p(x, t)$ 和 $q(x)$ 分别定义了多项式基函数和权函数。程序首先构建了刚度矩阵和载荷向量，然后添加了边界条件，最后解出了线性方程组。程序还计算了解析解和数值解，并绘制了它们的图像。