埃及数学学会：用打靶法和VIMHP求解边值问题

埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joemsJournal of the Egyptian Mathematical Society（2013）21，354原创文章用打靶法和VIMHP求解边值问题M. Matinfar*，M. Ghasemi数学系，数学系，马赞达兰大学，邮政信箱47415-95447，Babolsar，伊朗接收日期：2013年1月30日;修订日期：2013年4月8日;接受日期：2013年2013年5月17日在线提供本文应用一种新的方法求解非线性边值问题。该方法是打靶法与何氏多项式变分迭代法的结合。作为例子表明，我们提出的技术可以克服的困难，在这两种方法中均出现，并且该技术的有效性得到了认可。2010年数学学科分类：65L10、65N99、65L99？2013制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表在CC BY-NC-ND许可下开放访问。1. 介绍求解非线性微分方程是非常重要的，因为它可以模拟世界上大多数现象。因此，科学家和研究人员有兴趣找到确定非线性常微分方程和偏微分方程解的最佳方法。一类微分方程是可以用数值方法求解的边值问题[1] 正如我们所知，除了数值技术能够找到微分方程的解之外，它们还需要大量的计算工作，并且非常耗时。一种数值方法是打靶法，它用于求解边值问题。该方法通过选取期望函数在起始时刻的导数的任意值，将边值问题转化为内值问题，*通讯作者。联系电话：+98 1125342430。电子邮件地址：m. umz.ac.ir（M.Matinfar）。同行评审由埃及数学学会负责然后用数值方法如Runge-Kutta法求解边值问题。不幸的是，这一程序并不容易实施。因此，用分析的方法似乎可以克服这个问题.但在求解边值问题的变分迭代法（VIM）[2-在这些方法中，为了为了得到更好的结果，我们应该选择合适的初始猜测来开始递归过程，这对于BVP来说是困难的。在本文中，我们结合了VIMHP作为一个收敛和强大的方法与射击方法来解决边值问题。这种修改克服了上述困难，存在于数值和分析技术解决BVP。通过算例计算，并与其它方法的结果进行比较，验证了该方法的准确性。2. 方法下面，介绍VIMHP、打靶法和我们提出的方法的概念：1110- 256 X<$2013 Elsevier B. V.代表埃及数学学会制作和主办。在CC BY-NC-ND许可下开放访问。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2013.04.005制作和主办：Elsevier关键词非线性边值问题打靶法变分迭代法He用打靶法和VIMHP求解边值问题355DrM¼2eXN2联系我们你好！1.eðð-1Þðm-1ÞÞ¼ð -Þð - ÞM一个！1Σ2.1. 变分迭代算法为了说明VIM的基本思想，首先考虑以下非线性微分方程L½ur]N½ur]¼gr;r>0;0.01其中Ldm;mN是线性算子，N是非线性算子，g（r）是源非齐次项，服从初始条件uk0c k;k¼ 0; 1; 2;. ;m-1;200μ m其中ck是实数。根据HeZR0域X.一般来说，算子A可分为L和N两部分，其中L是线性算子，N是非线性算子。因此，（3）可以重写如下：LUNU-fr0：我们构造了一个同伦V（r，p）：X·[0，1]fRn，满足HV;p1-p½LV -LU0]p½AV -fr]0;p2½0;1];r2X;或者等效地，HV;pLV -LU0pLU0p NV -fr]0：4其中U0是（3）的初始近似。在该方法中，un使用同伦参数p，我们有以下幂系列介绍V，其中k是一般拉格朗日乘子，并且可以是恒等式。通过变分理论最优地确定。在这里，我们对非线性项Nu应用限制变分，在这种情况下，我们可以很容易地确定乘数的最佳值。 作出上述功能固定，注意到dunn¼0，V¼ V0pV1p2V2p. ：近似解可以通过设置p=1来获得即U¼U0U1U2.. . ：500dun1rdunrdReksfLuns-gs gds;[15]中讨论了级数（5）的收敛性。该方法将非线性项N[V]视为得到以下拉格朗日乘子，k¼ -1对于m1;1ii011/4H2O···k<$s-r;对于m<$2;并且一般来说，M其中Hnk-1srm-1;对于mP1：-100！1HnV0;V1;···;Vn@n. .XnpiVi！！;n利用所得到的拉格朗日乘子和任意选择函数u0，可以很容易地得到解u（r）的逐次逼近un（r），nP0。因此，你好！@pn四分之一;1;2;···1/4p¼0因此，精确解可以如下获得：您的位置：首页>新闻中心>2.2. 同伦摄动方法我们知道HPM[12当p=0时，方程组具有足够简单的形式，通常有一个相当简单的解。当p逐渐增大到1时，系统经历一系列的最终在p=1时，系统采用方程的原始形式，而“变形”的最后阶段为了说明HPM的基本概念，请考虑以下内容2.3. He多项式变分迭代法为了说明VIMHP的基本思想，考虑以下一般微分方程：L½ur]N½ur]¼gr;6其中L是线性算子，N是非线性算子，g（r）是源非齐次项。根据VIM，对于nP0，我们可以构造一个正确的泛函如下：un1runr研发与管理ksdsmnsN½uns]-gsds;7M其中k ssR. 现在，应用一系列的p的幂，然后使用他非线性微分方程一种新的合成方法Xpnvn<$u0pZ克什河“dm。X1Mpnvns！你好X1¼pnvns！# %d% s带边界条件n¼00drZRn¼0ZRn0的“dm。X1.@U-ksgsdsu0pR克什乌姆pn vnsB U;@n1/40;r2C;0 0X1n#Z博士n¼0ZNZ0þ0R356M. Matinfar，M.Ghasemi其中A是微分算子，B是边界算子，f（r）是已知的解析函数，C是þn¼0p Hnds-ksgsds;80用打靶法和VIMHP求解边值问题357ZMDTXu uulimpv..0@ydt2¼f t;y;dt;2012年<0@yL;<11DT122DT2.Σ这是使用He多项式的修正变分迭代法现在，使p的同幂系数相等，我们有Rp0：v0¼u0-ksgsds;d2y dydt2¼f t;y; dt;1500在t2[a，b]上的一般边界条件你是谁？p1：v1¼p2：v2¼..0-1-100！公司简介0米-1米！s-rdmdrmdmdrmv0ybb：17到目前为止，对于二阶微分方程所考虑的方法涉及初始条件y（a）和y0（a）的选择。我们仍然可以通过选择“初始"条件来从这个框架中逼近边值问题Rpj： vj¼-1s-rdmvj1你好，0米-1米！..DrM--- -一种-ð9Þ第19天其中常数A被选择为使得当我们推进解时，因此，可以如下获得（6）用打靶法给出了一个迭代过程，我们可以用它来确定这个常数A。图1示出了边界va的解。1Nnp！1n¼01/4v0B1B2你... . ：100万Lue问题给定A的两个不同值。 在这种情况下，A=A1的值给出了初始斜率的值，该值太低而不能满足边界条件，而第零（初始）近似u0可以自由选择，如果它满足问题的初始条件和边界条件。该方法的成功取决于初始逼近u0的适当选择。然而，使用初始值u（k）（0）=c k，k= 0，1，2，. ，m-1优选地用于选择性零近似u0。在我们的替代方法中，我们选择初始近似u0为：Xm-1ckA=A2太大，不能满足（17）式，两者都应修正.定理2.1. 边值问题y00¼ft;y;y0;a6x6b;yaa;ybb;20初值问题u0k½0k！rk：1111y00¼ft;y;y0;a6x6b;yaa;y0aA;21其中A是任意常数，在[a，b]上有唯一解更多信息参见[20，21]。2.4. 边值问题：打靶法如果(a) f、@f和@f是连续的;@y@y0许多物理方程没有特定的初始条件，而是有一些给定的边界条件。这种问题的一个简单例子是二阶边值问题(b) 存在常数M使得. @f. 6个月;(c) 存在常数L，使得d2y。dyjiang @f在t2[a，b]上的一般边界条件ayabdyac;13aybbdybc：14因此，解是在一个特定的区间上定义的，并且在区间的端点处必须满足（13）和（14）2.4.1. 打靶法这里构造的边值问题需要当前时刻t=a和未来时刻t=b的信息。然而，我们只需要关于开始时间t=a的信息。然后需要做一些工作来协调解析和数值格式与这里提出的边值问题我们首先重新考虑一般的边值问题图1y（a）= a且y0（a） =A的边值问题的解0ZZΣMΣMRRZ358M. Matinfar，M.GhasemiZe3ge3n¼ks0j;st--n. X！Xytvt：3公司简介232公司简介ð Þ ¼n02ns-t01- 01 -01-01-01.-ZB a3t1在y00<$1y3;y1012;y01010A;y24AD¼fx;y;y0ja6x6b;-1y1;-1y01g：这个定理的证明参见[22]。2014 - 03- 23其中A是任意常数，并且应该基于所示算法来确定：2A¼-1312.4.2. VIMHP与打靶法在上面的例子中，调整（19）中A的值可以得到满足（17）的解。我们可以解决这个问题，使用2- 1¼ -3：125mm使用这个值，我们可以求解方程。（24）以武为尊。为了使用VIMHP，我们应该计算拉格朗日乘数：一个自洽的算法来搜索满足原始问题的A的适当值。基本算法如下：y简体中文 我不知道你在说什么不ksfynss11 Y DS2621-用初始条件解微分方程y（a） =a，并且y0（a） =A，其中VIMHP如前所示。其中y~n被认为是受限制的变化，即， dy~n1/40。为了找到k（s）的最佳值，我们有A的第一个适当值可以通过评估通过两点a和b的直线的斜率来确定，这两点位于函数曲线上y简体中文或我不知道你在说什么t1ksynss2ydsAyb-ya：B- ay简体中文 我不知道你在说什么不ksdynss1ds;2802-计算t=b时的解yVIMHP（t），并比较该值与目标值y（b）=b。3-调整A的值（或大或小），直到这导致dytdyt1-k0s ksdy0sj实现了期望的公差和精度水平。的ðnþ1Þn不þ1ns¼t例如，确定A可能是合适的：k00A¼ A-yVIMHPb;Ak-1-ybA因此，定态条件如下：低型kk-1yVIMHPA;K-1 公司简介A;k-2型K-1-Ak-2;22其中Ak-1A的值是 第（k-1）步 和yVIMHP（b;Ak-1）是对于Ak-1的yVIMHP（t）的值，但是8>1-k0s0jt;>：k00s0jst;ð30Þ正如我们在这个方法中看到的，我们需要A的第一个和第二个值。第一个值可以如步骤（1）中所示获得，第二个值的一个选择可以是2yb-ya：4-一旦达到规定的精度，解决方案-测量是完整的，并且精确到公差选择了其结果是k（s）= st。现在我们可以使用VIMHP来查找解决方案的组件。X1pnvty-1pZs-tpvds：31n¼01n¼0y的最佳选择是 1/4 -2-1t-1t，并基于注意事项：本文方法适用于高阶微分方程。它只需要将方程转化为一阶和二阶方程组一阶方程可以用VIMHP法求解，二阶方程可以用VIMHP法和打靶法求解。3 3VIMHP定义1nn¼0为了获得未知y n，n= 1，2，3，.. . 应该比较p的相似幂。所以我们有：p0：v=02 1t-10;3. 应用实例0 0¼-3-3mm1Z t.Σ21的应用方法。2t31080107吨23吨49吨;例如 1.考虑 的 以下 方程式， 与 的边界值y= 1π/2和y（2）=-1。3Z t.Σ21y00¼1y3：123mm在这个例子中，ft;y;y01y3并且基于定理2.1，.当量（23）有独特的解决方案。为了求解上述方程，它应该转化为初始值问题：4 t546656013吨 82吨 338吨 波音749-737运输机ð32ÞDZDZ22在这一节中，我们提出了一些例子，以显示可靠性p1：v1未显示-p2：v2未显示--Ds1243用打靶法和VIMHP求解边值问题359t-4-ð Þ ¼第三章Þ ¼2ð Þ ¼6--¼---0XZ.Xnni¼0iVIMHP3- 是的X1pnv！. X1pnv0！）ds;36ðs-tÞ -v3þv0v0ds¼ -ðs-tÞ -3v2v1þv0v0þv1v0ds¼-！-1方程的 解 的 n阶近似。（24）可以获得 作为 我不知道 你好。 通过比较其中yexact（t）=2= 1、我们发现，第一选择A是不合适的，我们应该重复上述程序第二选择A。利用A的这个值和新的初始近似，并最终比较解的p个分量的相似方幂 通过比较y VIMHP的值t t 2这是通过选择y0，yexact（t）t=2= 1，我们发现A的这个值也不好。使用这些A值，并应用割线法产生最佳的A值，如计算算法所示。用VIMHP方法求解在每一步中，A的值都是持续的，直到我们达到可接受的公差。给出最佳近似的A的最佳值的的确切溶液在这例如A=A4=-0.2222644。通过研究图2，很明显，所获得的具有A4值的解与精确解y exact t 2具有极好的一致性。 图2中提供的图形 结果 清楚 地表 明， 与VIM 和 VIMHP 相 比， Shooting-VIMHP可以给出最佳近似。所以，通过结合受害者和枪击-用这种方法求解边值问题，没有任何困难，而且计算工作量较小。表1示出了通过所提出的技术获得的解决方案的数值结果，并将数据与y00-y3-y0¼0;y11;y01A;34准确的。表2示出了与图1的结果之间的差异。Shooting-VIMHP及其精确解，其中n是应用Shootingmethod的次数。通过研究表2，可以清楚地看出，在寻找A的最佳值的第四步中，我们可以获得可接受的解，并且我们的修改使得计算非常简单，收敛速度高，并且减少了VIMHP中的迭代次数实施例2. 考虑下面的非线性边值问题，其精确解为y t1：t1其中A的最佳值可用打靶法求得在每一步确定A的过程中，都可以用VIMHP求解。如前所述，A的第一个选择是A1。使用此值并求解Eq.式（34）给出了不可接受的解，因为ΔVIM HP（2）yexact（2）Δ的值很大，A应该被校正。根据求A最佳值的计算算法和割线法，经过第四步，我们可以得到合适的A值，利用这个值，y_VIMHP_3在每种情况下都足够接近精确解间隔点使用在第四步之后获得的A=.2499我们的原始方程将被转换为：1 1y00-y3yy0¼0;y11;年0月1日星期四-：2499：035：00y00-y3-y0;y2.2 ±...：10333Þ ¼2对于这个例子，f（t，y，y0） =y3yy0。因此，基于Theo-rem 2.1，Eq. （33）也有独特的解决方案为了解决这个问题，应用VIM求Lagrange多变量plier给出k（s）=st。使用该值并考虑VIMHP，我们有：首先，我们应该将原始方程转换为VIP：1n¼0pn vn2018-08-28：-1n¼03pn vnnnn<$0n<$0和y=1X1v=0：n¼0通过比较p的相似幂以获得未知y n，n= 1，2，3，.。我们有：p0：vty1-0：2499t-1002Zt.Σ1001000吨100003Zt.简体中文6543图2比较Shooting-VIMHP、VIMHP和VIM的结果与方程的精确解（二十三）.×吨：020t-： 487t-：5： 8t- 430t-：189t- 479t-：536t-：..ð37Þ表1Shooting-VIMHP数值结果的比较用Eq的精确解（二十三）.不1.01.21.41.61.82.0y射击-VIMHP3-0.666666-0.714294-0.769248-0.833359-0.909121-1.000000y精确jy射击-VIMHP3-y精确j0.666666 0.0000000.714285 0.0000090.769230 0.000018电话：+86-033 - 333333传真：+86-033-333333330.909090 0.000031-1.000000 0.000000t=2时的解对于Eq。（二十三）.表2 比较yShootingg-VIMHP3的值与n1234y射击-VIMHP3-1.548651000-1.006730805-1.000341207-1.000002047y正合-1-1-1-1jy射击-VIMHP3 -y精确j0.5486510000.0067308050.0003412070.0000020472232t1/2p1：v1未满1小时1977年：80t- 101t- 1596t-1752t-1000;p2：v2未满1小时010不1000021360M. Matinfar，M.Ghasemi1-通过这种组合，选择VIMHP中所需的最佳初始猜测2-通过所提出的修改，不需要做大量和耗时的计算工作，这是在射击方法。3-将这两种方法结合起来，收敛速度更快。4-最后，所得结果与精确解吻合良好，证明了该方法的可靠性。在Matlab的帮助下得到了图形结果和计算。确认图3比较Shooting-VIMHP、VIM和VIMHP的结果与方程的精确解（三十三）。感谢马赞达兰大学提供的财政支持。作者还感谢匿名评论者的评论，这导致了一个即时消息-论文的版本表3Shooting-VIMHP的数值结果与Eq.（三十三）。t y射击-VIMHP3y精确jy射击-VIMHP 3-y精确j引用[1] L.L. 姜氏T. Zhou，M. Perc，B.H. 王，影响1.00.5000000.5000000.000000在石头剪刀布游戏中形成竞争格局，1.20.4545640.4545450.000019Phys. Rev. E. 84（2）（2011）（doi：10/1103）。1.40.4167030.4166660.000037[2]J. Biazar，P. Gholamian，K. Hosseini变分迭代1.60.3846660.3846150.000051Fokker-Planck方程的求解方法富兰克林研究所1.80.3571900.3571420.000048347（7）（2010）11372.00.3333330.3333330.000000[3]哈卡 K. 阿克马兹， 变分 迭代 弹性动力学格林分析：理论方法应用七十一（十二）（2009）218[4] J.H. 他，变分迭代法-一些最近的结果，3通过学习Fig。 3，与VIM和VIMHP的精确解相比，yShooting-VIMHP3与精确解有很好的一致性。表3显示了数字这个例子的结果和表4与前面的例子相同，证明了通过应用打靶法和引入的算法来寻找A的最佳值，VIMHP可以给出很好的近似。因为，在没有打靶法的情况下，初始的猜测会比y04. 结论本文提出了一种新的求解边值问题的方法，即VIMHP法与打靶法相结合的方法。通过这种修改，我们不会遇到使用VIMHP和射击法求解BVP时存在的困难：新的解释，J. Comput. Appl. 数学 207（1）（2007）3-十七岁[5] J.S. 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