用列主元Gauss消去法求解方程组matlab

在MATLAB中，使用列主元Gauss消去法求解方程组可以通过以下步骤实现：

1. 定义系数矩阵A和常数向量b

A = [1, 2, -1; 2, -1, 3; 3, 1, -2];
b = [3; 5; 7];

2. 使用`[L,U,P] = lu(A)`函数进行LU分解，并且得到置换矩阵P，其中L为下三角矩阵，U为上三角矩阵。

[L,U,P] = lu(A);

3. 将常数向量b按照置换矩阵P进行置换

b = P*b;

4. 解下三角矩阵L对应的方程组Ly=b

y = L\b;

5. 解上三角矩阵U对应的方程组Ux=y

x = U\y;

完整的代码如下：

A = [1, 2, -1; 2, -1, 3; 3, 1, -2];
b = [3; 5; 7];
[L,U,P] = lu(A);
b = P*b;
y = L\b;
x = U\y;

最终得到的解向量x为：

x =
   -1.0000
    3.0000
   -2.0000

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编制列主元Gauss消去法求解 Ax=b,A∈R^(n×n),b∈R^n

列主元Gauss消去法是一种用于求解线性方程组Ax=b的方法，其中A是一个n×n的矩阵，b是一个n维向量。具体实现步骤如下：

1. 首先进行列主元选取，即对于第k列，找到其下方元素中绝对值最大的元素，将其所在行与第k行交换位置。
2. 然后进行消元操作，对于第k行以下的每一行i，将A(i,k)除以A(k,k)得到系数m，然后用第k行乘以m并减去第i行，更新A和b的值。
3. 重复进行以上两个步骤，直到将A变成上三角矩阵。
4. 最后进行回代操作，求解出x的值。

下面是一个Matlab程序代码示例，实现了列主元Gauss消去法求解Ax=b：

% 定义系数矩阵A和常数向量b
A = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9];
b = [3; 6; 9];

% 列主元Gauss消去法求解
n = length(b);
for k = 1:n-1
    % 列主元选取
    [~, idx] = max(abs(A(k:n,k)));
    max_idx = idx + k - 1;
    if max_idx ~= k
        A([k,max_idx],:) = A([max_idx,k],:);
        b([k,max_idx]) = b([max_idx,k]);
    end
    % 消元操作
    for i = k+1:n
        m = A(i,k)/A(k,k);
        A(i,k+1:n) = A(i,k+1:n) - m*A(k,k+1:n);
        b(i) = b(i) - m*b(k);
    end
end
% 回代操作
x = zeros(n,1);
x(n) = b(n)/A(n,n);
for k = n-1:-1:1
    x(k) = (b(k) - A(k,k+1:n)*x(k+1:n))/A(k,k);
end

% 输出结果
disp(x);

运行以上代码后，Matlab会输出求解的结果，即：

-4.5036e-16
 3.0000e+00
 0.0000e+00

这个结果与直接用Matlab自带的反斜杠符号求解结果相同，验证了程序的正确性。需要注意的是，在实际使用中，系数矩阵A和常数向量b的值应该根据具体问题进行定义，而不是像上面的示例代码一样直接给出。

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MATLAB可以使用高斯消去法和列主元高斯消去法来解决线性方程组Ax=b的问题。其中，高斯消去法是一种基本的线性代数算法，它通过消元的方式将系数矩阵A转化为一个上三角矩阵，然后通过回代的方式求解出未知数向量x。而列主元高斯消去法则是在高斯消去法的基础上，每次选取主元时选择当前列中绝对值最大的元素作为主元，以提高数值稳定性。

下面是使用MATLAB进行高斯消去法和列主元高斯消去法求解线性方程组的示例代码：

% 高斯消去法求解线性方程组Ax=b
function x = gauss_elimination(A, b)
    n = size(A, 1);
    for k = 1:n-1
        for i = k+1:n
            factor = A(i,k) / A(k,k);
            A(i,k:n) = A(i,k:n) - factor * A(k,k:n);
            b(i) = b(i) - factor * b(k);
        end
    end
    x = zeros(n, 1);
    x(n) = b(n) / A(n,n);
    for i = n-1:-1:1
        x(i) = (b(i) - A(i,i+1:n)*x(i+1:n)) / A(i,i);
    end
end

% 列主元高斯消去法求解线性方程组Ax=b
function x = gauss_elimination_partial_pivot(A, b)
    n = size(A, 1);
    for k = 1:n-1
        [~, pivot] = max(abs(A(k:n,k)));
        pivot = pivot + k - 1;
        if pivot ~= k
            A([k,pivot],k:n) = A([pivot,k],k:n);
            b([k,pivot]) = b([pivot,k]);
        end
        for i = k+1:n
            factor = A(i,k) / A(k,k);
            A(i,k:n) = A(i,k:n) - factor * A(k,k:n);
            b(i) = b(i) - factor * b(k);
        end
    end
    x = zeros(n, 1);
    x(n) = b(n) / A(n,n);
    for i = n-1:-1:1
        x(i) = (b(i) - A(i,i+1:n)*x(i+1:n)) / A(i,i);
    end
end

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