无穷维空间中按坐标分量收敛与按弱收敛等价吗

在有限维空间中，按坐标分量收敛和按弱收敛是等价的。但在无穷维空间中，这两者不一定等价。

具体来说，设 $X$ 是一个无穷维赋范空间，$(e_n)$ 是 $X$ 的一组有界线性无关的基。对于 $x=(x_n)\in\ell^\infty$，定义线性算子 $T_x:X\to\mathbb{C}$ 为 $T_x(y)=\sum_{n=1}^\infty x_n y_n$。容易验证 $T_x$ 是有界线性算子，且 $\|T_x\|=\|x\|_\infty$。

现在考虑序列 $(x^{(k)})\subset X$，其中 $x_n^{(k)}=1$ 当 $n=k$，$x_n^{(k)}=0$ 当 $n\neq k$。显然，$(x^{(k)})$ 不收敛于 $0$。但对于任意的 $i$，$(x_n^{(k)})$ 在第 $i$ 个坐标上都是常数序列，因此按坐标分量收敛于 $0$。但是 $T_{x^{(k)}}(e_k)=1$ 对于所有 $k$，因此 $(x^{(k)})$ 不按弱收敛于 $0$。

因此，在无穷维空间中，按坐标分量收敛和按弱收敛不一定等价。

相关问题

、证明无穷维空间关于按坐标分量收敛与按弱收敛之间的关系。

设 $X$ 是一个无穷维赋范空间，$(x_n)$ 是 $X$ 中的一个序列。我们考虑按坐标分量收敛和按弱收敛之间的关系。

如果 $(x_n)$ 按坐标分量收敛于 $x\in X$，则对于任意的 $i$，$(x_n^{(i)})$ 收敛于 $x^{(i)}$。这意味着对于任意的线性有界函数 $f\in X^*$，我们有 $f(x_n)\to f(x)$。因此，$(x_n)$ 按弱收敛于 $x$。

反之，如果 $(x_n)$ 按弱收敛于 $x\in X$，则对于任意的线性有界函数 $f\in X^*$，我们有 $f(x_n)\to f(x)$。特别地，对于任意的 $i$，我们可以取 $f$ 为第 $i$ 个坐标函数 $e_i$，得到 $x_n^{(i)}=e_i(x_n)\to e_i(x)=x^{(i)}$。因此，$(x_n)$ 按坐标分量收敛于 $x$。

综上所述，无穷维空间中按坐标分量收敛与按弱收敛是等价的。