matlab求解半定规划问题

Matlab提供了优化工具箱（Optimization Toolbox），其中包含了求解半定规划问题的函数 `quadprog()`。以下是一个求解半定规划问题的例子：

假设有一个半定规划问题：

$$
\begin{aligned}
\max_{X} &\quad \mathrm{Tr}(AX)\\
\text{s.t.} &\quad X\succeq 0\\
&\quad X_{11}+X_{22}+X_{33}=1
\end{aligned}
$$

其中 $A$ 是一个 $3\times 3$ 的对称矩阵，$X$ 也是一个 $3\times 3$ 的对称矩阵，且满足 $X\succeq 0$。

我们可以使用 `quadprog()` 函数来求解这个问题。具体操作如下：

% 定义矩阵 A
A = [1 0 0; 0 2 0; 0 0 3];

% 定义约束条件
Aeq = [1 0 0, 0 1 0, 0 0 1];
beq = 1;

% 求解半定规划
[X, fval] = quadprog(-A, [], [], [], Aeq, beq, [], [], [], []);

在上述代码中，我们首先定义了矩阵 $A$。然后，我们定义了等式约束的系数矩阵 $A_{eq}$ 和右侧常数向量 $b_{eq}$，其中 $A_{eq}$ 是一个 $1\times 9$ 的矩阵，$b_{eq}$ 是一个标量。

最后，我们使用 `quadprog()` 函数求解半定规划问题。`quadprog()` 函数的第一个参数是目标函数的系数矩阵，这里为 $-A$，因为我们需要求解最大值。第二个参数为空，表示没有不等式约束。第三个和第四个参数也为空，表示没有线性不等式约束。第五个和第六个参数分别为 $A_{eq}$ 和 $b_{eq}$，表示等式约束。最后一个空参数表示没有额外的选项。

`quadprog()` 函数的输出包括最优解 $X$ 和目标函数的最大值 $fval$。注意，因为我们求解的是最大值，所以输出的目标函数值为负数。