lqr设计控制器实例matlab

下面是一个简单的例子，演示如何使用LQR设计控制器来控制一个具有状态空间模型的系统。在这个例子中，我们将控制一个单自由度振动器的位置。

首先，我们需要建立系统的状态空间模型。假设我们的振动器有一个质量为m、阻尼系数为b、刚度系数为k的弹簧，我们可以得到以下状态空间方程：

$$
\begin{aligned}
\dot{x_1} &= x_2 \\
\dot{x_2} &= -\frac{k}{m}x_1 - \frac{b}{m}x_2 + \frac{1}{m}u
\end{aligned}
$$

其中，$x_1$表示振动器的位置，$x_2$表示振动器的速度，$u$表示我们的控制输入。

接下来，我们需要将这个状态空间方程转化为矩阵形式：

$$
\begin{bmatrix}
\dot{x_1} \\
\dot{x_2}
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
-\frac{k}{m} & -\frac{b}{m}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2
\end{bmatrix} +
\begin{bmatrix}
0 \\
\frac{1}{m}
\end{bmatrix} u
$$

现在，我们可以在Matlab中编写以下代码来创建系统模型：

m = 1; % 质量
b = 0.1; % 阻尼系数
k = 10; % 刚度系数

A = [0 1; -k/m -b/m];
B = [0; 1/m];
C = [1 0; 0 1];
D = 0;

sys = ss(A,B,C,D); % 创建系统模型

接下来，我们可以使用LQR设计控制器。假设我们希望将振动器的位置控制在0附近，我们可以选择以下代价函数：

$$
J = \int_0^\infty (x^T Q x + u^T R u) dt
$$

其中，$Q$和$R$是权重矩阵。在这个例子中，我们将选择：

Q = eye(2);
R = 1;

现在，我们可以使用Matlab中的lqr函数来计算控制器增益矩阵：

[K,S,e] = lqr(sys,Q,R);

最后，我们可以将控制器增益矩阵应用于系统中，以实现我们的控制：

t = 0:0.01:10; % 时间范围

x0 = [1; 0]; % 初始状态
r = [0; 0]; % 参考信号

u = @(t,x) -K*(x-r); % 控制器

[y,t,x] = lsim(sys,u,t,x0); % 模拟系统

完整的Matlab代码如下：

m = 1; % 质量
b = 0.1; % 阻尼系数
k = 10; % 刚度系数

A = [0 1; -k/m -b/m];
B = [0; 1/m];
C = [1 0; 0 1];
D = 0;

sys = ss(A,B,C,D); % 创建系统模型

Q = eye(2);
R = 1;

[K,S,e] = lqr(sys,Q,R);

t = 0:0.01:10; % 时间范围

x0 = [1; 0]; % 初始状态
r = [0; 0]; % 参考信号

u = @(t,x) -K*(x-r); % 控制器

[y,t,x] = lsim(sys,u,t,x0); % 模拟系统

plot(t,y(:,1),'b',t,y(:,2),'r');
legend('位置','速度');