y''(t)+4y'(t)+4y(t)=f'(t)+f(t)在输入f(t)=sin(1/2*pi*t)时的零状态响应

零状态响应指的是在没有外部输入（即f(t)=0）的情况下，系统的响应。在这个问题中，我们需要求解y''(t)+4y'(t)+4y(t)=0的解。

首先，我们可以写出特征方程：
λ^2+4λ+4=0

解这个特征方程，得到：
λ=-2

因此，系统的通解为：
y(t)=(c1+c2t)e^(-2t)

接下来，我们需要考虑外部输入f(t)=sin(1/2*pi*t)的影响。因为这是一个线性系统，我们可以通过叠加原理来求解总的响应。

首先，我们需要求解输入信号f(t)对系统的强迫响应。我们可以将f(t)看作是一个单位冲激函数的卷积，即：
f(t)=sin(1/2*pi*t)=∫δ(τ)sin(1/2*pi*(t-τ))dτ

我们知道，单位冲激函数的拉普拉斯变换为1，因此，f(t)的拉普拉斯变换为：
F(s)=1/(s^2+(1/2*pi)^2)

接下来，我们可以使用拉普拉斯变换来求解系统的强迫响应。将系统的微分方程变换到s域，得到：
s^2Y(s)+4sY(s)+4Y(s)=F(s)+Y(0)+sY'(0)

将F(s)代入上式，得到：
s^2Y(s)+4sY(s)+4Y(s)=1/(s^2+(1/2*pi)^2)

移项，得到：
Y(s)=1/(s^2+(1/2*pi)^2)/(s^2+4s+4)

我们可以使用部分分式分解来求解Y(s)的逆变换。令：
Y(s)=A/(s+2)+B/(s+2)^2+C/(s+1/2*pi)+D/(s-1/2*pi)

将上式代入Y(s)的表达式，并进行化简，得到：
Y(s)=(-A-B)/(s+2)^2+(A/2-C/((1/2*pi)+s))+(A/2+D/((-1/2*pi)+s))

使用拉普拉斯逆变换，得到系统的强迫响应：
y_p(t)=(1/2)*t*e^(-2t)*sin(1/2*pi*t)

因此，系统的零状态响应为：
y(t)=(c1+c2t)e^(-2t)+y_p(t)

最终的解为：
y(t)=(c1+c2t)e^(-2t)+(1/2)*t*e^(-2t)*sin(1/2*pi*t)