Parseval 关系

Parseval关系，也称为Parseval定理或能量守恒定律，在信号处理和傅里叶分析领域中是一个基本原理。它描述的是在一个周期性的函数或序列中，其总能量（平方绝对值的积分）无论通过时间域还是频率域表示都是相同的。数学上可以表述为：

对于一个连续的时间信号\( f(t) \)，它的傅里叶变换\( F(\omega) \)满足 Parseval定理：
\[
\int_{-\infty}^{\infty} |f(t)|^2 dt = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} |F(\omega)|^2 d\omega
\]

这意味着信号的能量在时域里的积分等于其频谱能量在频域里的积分。这个性质对于理解信号的功率、噪声和滤波器的设计等都有重要意义。

相关问题

Parseval 等式

Parseval等式是一个数学等式，用于描述信号在频域和时域之间的关系。根据该等式，如果信号在时域上的能量与其在频域上的能量相等，那么它们的傅里叶变换和逆傅里叶变换之间存在一个平方模的关系。具体而言，如果一个函数f(x)可以表示为一组正交基函数{eijx=cos(jx) + isin(jx)}，其中j=0,1,...,n-1，那么Parseval等式可以表示为：

∑(k=0 to n-1) |ck|^2 = (1/n) * ∑(k=0 to n-1) |fk|^2

其中，ck是函数f(x)在基函数eijx上的系数，fk是函数f(x)在频域上的傅里叶变换。

这个等式可以用于计算信号的能量在频域和时域上的分布，以及验证信号的完备性和一致性。<span class="em">1</span><span class="em">2</span><span class="em">3</span>
#### 引用[.reference_title]
- *1* [关于Bessel不等式和Parseval等式的几点注解](https://blog.csdn.net/qq_24694761/article/details/84330890)[target="_blank" data-report-click={"spm":"1018.2226.3001.9630","extra":{"utm_source":"vip_chatgpt_common_search_pc_result","utm_medium":"distribute.pc_search_result.none-task-cask-2~all~insert_cask~default-1-null.142^v93^chatsearchT3_2"}}] [.reference_item style="max-width: 50%"]
- *2* *3* [离散傅里叶变换](https://blog.csdn.net/u010450214/article/details/49615001)[target="_blank" data-report-click={"spm":"1018.2226.3001.9630","extra":{"utm_source":"vip_chatgpt_common_search_pc_result","utm_medium":"distribute.pc_search_result.none-task-cask-2~all~insert_cask~default-1-null.142^v93^chatsearchT3_2"}}] [.reference_item style="max-width: 50%"]
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函数积分和他的傅里叶变化的关系

函数的傅里叶变换和它的积分之间有一个重要的关系，即被积函数的傅里叶变换是积分函数的复共轭。具体来说，设 $f(t)$ 的傅里叶变换为 $F(\omega)$，则 $F(-\omega)$ 是 $f(t)$ 的积分函数 $F(t)$ 的傅里叶变换的复共轭，即：

$$F(-\omega)=\mathcal{F}[F(t)]=\int_{-\infty}^{\infty}F(t)e^{-i\omega t}dt$$

这个关系被称为 Parseval 定理，它在信号处理和傅里叶分析中有着广泛的应用。这个定理的证明可以用分部积分和傅里叶变换的定义式完成。