贝叶斯优化的高斯过程协方差函数
时间: 2023-10-26 08:46:53 浏览: 41
贝叶斯优化中经常使用高斯过程 (Gaussian Process) 来建模目标函数,其中协方差函数 (Covariance Function) 是高斯过程的核心。高斯过程的协方差函数通常写作 $k(x, x')$,表示输入为 $x$ 和 $x'$ 的两个点之间的相关性。高斯过程的主要思想是通过已知的数据点来推断未知的数据点的分布,因此协方差函数需要满足以下性质:
1. 对于相同的输入点,协方差函数的输出值相同,即 $k(x,x') = k(x',x)$;
2. 对于任意的输入点,协方差函数的输出值必须为非负数,即 $k(x,x') \geq 0$;
3. 对于任意的输入点集合 $\{x_1, x_2, ..., x_n\}$,其对应的协方差矩阵 $K = [k(x_i, x_j)]_{n\times n}$ 必须是半正定的,即对于任意非零向量 $v$,有 $v^T K v \geq 0$。
常见的高斯过程协方差函数包括:
1. 高斯核函数 (Gaussian Kernel):$k(x, x') = \sigma_f^2 \exp\left(-\frac{(x-x')^2}{2\ell^2}\right)$,其中 $\sigma_f^2$ 表示函数值的方差,$\ell$ 表示长度尺度,控制函数的平滑度。
2. Matérn核函数 (Matérn Kernel):$k(x, x') = \frac{2^{1-\nu}}{\Gamma(\nu)} \left(\sqrt{2\nu}\frac{\|x-x'\|}{\ell}\right)^\nu K_\nu\left(\sqrt{2\nu}\frac{\|x-x'\|}{\ell}\right)$,其中 $\nu$ 表示核函数的光滑度,$\ell$ 表示长度尺度,$K_\nu$ 表示第二类修正的贝塞尔函数。
3. 指数核函数 (Exponential Kernel):$k(x, x') = \sigma_f^2 \exp\left(-\frac{\|x-x'\|}{\ell}\right)$,其中 $\sigma_f^2$ 表示函数值的方差,$\ell$ 表示长度尺度,控制函数的平滑度。
这些协方差函数可以根据实际问题的特征进行选择和调整。