定义有限数量的多种物品和多个背包，且不同物品和不同背包都有长、宽、高、体积、重量，以背包的体积利用率最大作为目标函数求解。装载时采用“密度递增”的定序规则和“占角策略”的定位规则，将密度最小的货物第一个放入原点所在的角落。在货物摆放过程中，需设定重量约束，背包重量平衡约束，体积约束、三维尺寸约束（即长、宽、高约束）。请用python对上述问题建模求解，并输出最优装载方案，详细至哪个背包放了哪种物品多少个

本问题可以采用混合整数规划（MIP）进行建模求解，具体步骤如下：

1. 确定决策变量

设 $x_{ijk}$ 表示第 $i$ 个背包中是否放置第 $j$ 种物品的第 $k$ 个，其中 $i=1,2,\dots,m$，$j=1,2,\dots,n$，$k=1,2,\dots,K_j$，$m$ 表示背包的数量，$n$ 表示物品的种类数，$K_j$ 表示第 $j$ 种物品的数量。如果将第 $j$ 种物品的第 $k$ 个放入第 $i$ 个背包，则 $x_{ijk}=1$，否则 $x_{ijk}=0$。

设 $y_i$ 表示第 $i$ 个背包的利用率，$z_i$ 表示第 $i$ 个背包中放置的物品总重量，$w_i$ 表示第 $i$ 个背包中放置的物品总体积。

2. 确定目标函数

背包的体积利用率最大，即

$$\max \sum_{i=1}^m y_i$$

其中 $y_i=\frac{w_i}{V_i}$，$V_i$ 表示第 $i$ 个背包的容量。

3. 确定约束条件

（1）每个物品只能放入一个背包中，即

$$\sum_{i=1}^m \sum_{k=1}^{K_j} x_{ijk} \leq 1, \quad j=1,2,\dots,n$$

（2）每个背包中放置的物品总重量不能超过该背包的最大重量，即

$$\sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^{K_j} w_j x_{ijk} \leq W_i, \quad i=1,2,\dots,m$$

（3）每个背包中放置的物品总体积不能超过该背包的容量，即

$$\sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^{K_j} v_j x_{ijk} \leq V_i, \quad i=1,2,\dots,m$$

其中 $v_j$ 表示第 $j$ 种物品的体积。

（4）每个背包的长、宽、高都要小于等于预设值 $L_i,W_i,H_i$，即

$$\sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^{K_j} l_j x_{ijk} \leq L_i, \quad i=1,2,\dots,m$$

$$\sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^{K_j} w_j x_{ijk} \leq W_i, \quad i=1,2,\dots,m$$

$$\sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^{K_j} h_j x_{ijk} \leq H_i, \quad i=1,2,\dots,m$$

其中 $l_j,w_j,h_j$ 分别表示第 $j$ 种物品的长、宽、高。

（5）每个背包的重量平衡，即

$$\sum_{i=1}^m z_i = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m W_i$$

4. 确定其他限制条件

（1）密度递增的定序规则：按照物品的体积密度从小到大的顺序进行装载，即

$$\frac{w_j}{v_j} \leq \frac{w_k}{v_k}, \quad j<k$$

（2）占角策略的定位规则：将密度最小的货物第一个放入原点所在的角落，即

$$\sum_{k=1}^{K_j} x_{1jk} = 1, \quad j=1,2,\dots,n$$

5. 求解模型

将上述目标函数和约束条件整理成混合整数规划的标准形式，采用python中的PuLP库进行求解。最终得到的结果包括每个背包放置的物品种类、数量和位置等详细信息。

代码示例：