四阶艾尔米特多项式进行5维函数回归 matlab polyfitn举例

假设我们有一个5维函数 $f(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)$，我们想要用四阶艾尔米特多项式进行回归。我们可以使用 MATLAB 的 polyfitn 函数来实现这个过程。

首先，我们需要准备一些数据来进行回归。假设我们有 $N$ 个点 $(x_{1i},x_{2i},x_{3i},x_{4i},x_{5i},y_i)$，我们可以将其放在一个 $N \times 6$ 的矩阵中，其中前五列是输入变量，最后一列是输出变量。我们可以使用 rand 函数来生成一些随机数据：

N = 100;
X = rand(N, 5);
Y = sin(X(:,1)) + cos(X(:,2)) + 2*X(:,3).^2 - X(:,4).^3 + 0.5*X(:,5) + 0.1*randn(N,1);

现在我们可以使用 polyfitn 函数进行回归。我们需要指定多项式的阶数（这里是 4），以及要使用的基函数类型（这里是艾尔米特多项式）。我们还需要指定每个变量上的基函数数量。这里我们将每个变量上的基函数数量设置为 5。我们可以这样写：

order = 4;
basis = 'h'; % Hermite polynomials
params = repmat({5}, 1, 5); % 5 basis functions for each variable
p = polyfitn(X, Y, order, basis, params);

现在我们可以使用 p 进行预测。假设我们有一个输入向量 $x = [x_1,x_2,x_3,x_4,x_5]$，我们可以这样计算预测值：

x = [0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6];
y_pred = polyvaln(p, x);

这里的 y_pred 就是我们回归出的预测值。我们可以将其与真实值进行比较以评估模型的性能。