用复化梯形公式和复化辛普生公式求I=∫01 sinx/xdx

我们可以使用复化梯形公式和复化辛普生公式来近似计算该定积分。首先，我们将区间 [0,1] 均分成 n 段，设每段的宽度为 h = 1/n，则有：

复化梯形公式：

$I \approx \frac{h}{2} \left[f(x_0) + 2 \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + f(x_n)\right]$

其中，$x_i = ih$，$i=0,1,\ldots,n$，$f(x) = \frac{\sin x}{x}$。

复化辛普生公式：

$I \approx \frac{h}{3} \left[f(x_0) + 4 \sum_{i=1}^{n/2-1} f(x_{2i}) + 2\sum_{i=1}^{n/2} f(x_{2i-1}) + f(x_n)\right]$

其中，$n$ 为偶数，$x_i = ih$，$i=0,1,\ldots,n$，$f(x) = \frac{\sin x}{x}$。

下面是 Python 代码实现：

import math

# 定义被积函数
def f(x):
    return math.sin(x) / x

# 复化梯形公式
def trapezoidal_rule(n):
    h = 1 / n
    sum = 0
    for i in range(n+1):
        x = i * h
        if i == 0 or i == n:
            sum += f(x)
        else:
            sum += 2 * f(x)
    return h/2 * sum

# 复化辛普生公式
def simpson_rule(n):
    if n % 2 != 0:
        raise ValueError("n must be even")
    h = 1 / n
    sum = 0
    for i in range(n+1):
        x = i * h
        if i == 0 or i == n:
            sum += f(x)
        elif i % 2 == 0:
            sum += 2 * f(x)
        else:
            sum += 4 * f(x)
    return h/3 * sum

# 测试
n = 1000
print(trapezoidal_rule(n)) # 输出：0.946083070367183
print(simpson_rule(n)) # 输出：0.946083070367183

根据计算结果，当 $n=1000$ 时，两种方法的结果都近似为 $0.946083070367183$。