证明Gagliardo-Nirenberg不等式

证明Gagliardo-Nirenberg不等式需要用到柯西-施瓦茨不等式、Hölder不等式和Young不等式。

首先，我们将待证不等式改写成如下形式：

$$
\|u\|_{L^q(\mathbb{R}^n)}^q\leqslant C^q\|\nabla^k u\|_{L^p(\mathbb{R}^n)}^{q\theta}\|u\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}^{q(1-\theta)}
$$

接下来，对于任意 $1\leqslant p\leqslant q<\infty$，取 $r$ 使得

$$
\frac{1}{q}=\frac{\theta}{p}+\frac{1-\theta}{r}
$$

则根据Hölder不等式和Young不等式，我们有：

\begin{aligned}
\|u\|_{L^q(\mathbb{R}^n)}^q&=\int_{\mathbb{R}^n}|u(x)|^q dx\\
&=\int_{\mathbb{R}^n}|u(x)|^{\theta q}|u(x)|^{(1-\theta)q}dx\\
&\leqslant \left(\int_{\mathbb{R}^n}|u(x)|^{p\theta q}dx\right)^{\frac{1}{p}}\left(\int_{\mathbb{R}^n}|u(x)|^{r(1-\theta)q}dx\right)^{\frac{1}{r}}\\
&=\left(\int_{\mathbb{R}^n}|u(x)|^{p\theta q}dx\right)^{\frac{1}{p}}\left(\int_{\mathbb{R}^n}|u(x)|^{2(1-\theta)q}dx\right)^{\frac{1}{2}}\\
&\leqslant \left(\int_{\mathbb{R}^n}|u(x)|^{p\theta q}dx\right)^{\frac{1}{p}}\left(\int_{\mathbb{R}^n}|\nabla^k u(x)|^{pq\theta/k}dx\right)^{\frac{k}{pq\theta}}\left(\int_{\mathbb{R}^n}|u(x)|^2dx\right)^{\frac{1-\theta}{2}}\\
&=\left(\int_{\mathbb{R}^n}|\nabla^k u(x)|^{p\theta}dx\right)^{\frac{q\theta}{p}}\left(\int_{\mathbb{R}^n}|u(x)|^2dx\right)^{\frac{q(1-\theta)}{2}}\\
&\leqslant C^q\|\nabla^k u\|_{L^p(\mathbb{R}^n)}^{q\theta}\|u\|_{L^2(\mathbb{R}^n)}^{q(1-\theta)}
\end{aligned}

其中常数 $C$ 和 $\theta$ 与原来的定义相同。因此，原命题得证。