帮我解决这个问题:4.25对下述函数f、g 及集合A、B,计算f°g、f°g(A)和f°g(B),并说明f°g是}为单射或满射。 (1) f: R→R,f(x)=x4-x2 g: N→R,g(x)=Nx A={2,4,6,8,10},B={0,1}。 (2) f: Z→R,f(x)=e' g: Z- >Z,g(x)= x2 A=N,B={2k|k∈N}。
时间: 2023-06-13 20:06:29 浏览: 137
(1)
首先,计算 f°g(x) = f(g(x)) = f(Nx) = (Nx)^4 - (Nx)^2 = N^4x^4 - N^2x^2。
其次,计算 f°g(A) = {f(g(x)) | x∈A} = {f(Nx) | x∈A} = {N^4x^4 - N^2x^2 | x∈A} = {2^12-2^6, 2^16-2^8, 2^20-2^10, 2^24-2^12, 2^28-2^14}。
最后,计算 f°g(B) = {f(g(x)) | x∈B} = {f(0), f(N)} = {0, N^4-N^2}。
由于 f°g(x) 是一个四次函数,且系数 N^4 和 N^2 都是正数,所以 f°g(x) 的图像是开口向上的,且在 x=0 处达到最小值。因此,f°g 是从 N 自然数集合到 R 实数集合的一个映射,且不是单射,因为不同的自然数可能映射到相同的实数。同时,也不是满射,因为存在实数无法被映射到。
(2)
首先,计算 f°g(x) = f(g(x)) = f(x^2) = e^(x^2)。
其次,计算 f°g(A) = {f(g(x)) | x∈A} = {f(x^2) | x∈N} = {e^(x^2) | x∈N}。
最后,计算 f°g(B) = {f(g(x)) | x∈B} = {f(0)} = {e^0} = {1}。
由于 e^(x^2) 是单调递增的函数,因此 f°g(x) 是从 Z 整数集合到 R 实数集合的一个单射。同时,由于 e^(x^2) 可以取到任意正实数,因此 f°g 是一个从 Z 整数集合到 R 实数集合的满射。
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```
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```
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```
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```
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