数值分析求解非线性方程例题
时间: 2023-09-16 12:08:14 浏览: 58
好的,下面是一个数值分析求解非线性方程的例题:
考虑求解方程 $x^3 - 2x - 5 = 0$ 在 $[1,2]$ 区间内的根。
首先,我们可以通过画出函数图像发现该方程在 $[1,2]$ 区间内有一个根,大致为 $x=1.8$ 左右。
接着,我们可以使用牛顿迭代法来进行数值求解。牛顿迭代法的基本思想是利用函数的导数信息来不断逼近方程的根。
具体地,我们先选择一个初始值 $x_0$,然后通过以下公式不断迭代:
$$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$
其中,$f(x)$ 是方程的左式,$f'(x)$ 是 $f(x)$ 的导数。
在本例中,我们可以选取初始值 $x_0=1.8$,然后计算迭代过程如下:
$$\begin{aligned} x_1 &= x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} \\ &= 1.8 - \frac{1.8^3 - 2\times 1.8 -5}{3\times 1.8^2 - 2} \\ &\approx 1.8556 \\ x_2 &= x_1 - \frac{f(x_1)}{f'(x_1)} \\ &= 1.8556 - \frac{1.8556^3 - 2\times 1.8556 -5}{3\times 1.8556^2 - 2} \\ &\approx 1.8559 \\ x_3 &= x_2 - \frac{f(x_2)}{f'(x_2)} \\ &= 1.8559 - \frac{1.8559^3 - 2\times 1.8559 -5}{3\times 1.8559^2 - 2} \\ &\approx 1.8559 \end{aligned}$$
可以看到,经过三次迭代后,我们得到了一个近似解 $x\approx 1.8559$。
当然,我们也可以选择其他的数值方法来求解非线性方程,例如二分法、割线法等等。不同的方法有不同的适用场景和优缺点,需要根据具体问题来选择。
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