f is one-to-one by the definition of a function, and it’s obviously onto. We just have to show f and f −1 |Γf (E1 ) are continuous. The finite open intervals (a, b) form a basis of E 1 . Let Ua,b = n (x, y) ∈ E 2 | x ∈ (a, b) o . Then U is open in E 2 . Sets of the form B∩Γf(E 1 ) form a base of open sets in Γf(E 1 ), where B is an open ball in E 2 . Note that B∩Γf(E 1 ) = Ua,b ∩Γf(E 1 ) for some Ua,b. And then Γ −1 f (B ∩ Γf(E 1 )) = Γ−1 f (Ua,b) = (a, b) is open in E 1 . Thus Γf is continuous. Conversely, f((a, b)) = Γf(E 1 ) ∩ Ua,b. Therefore f((a, b)) is open in Γf(E 1 ). Thus Γ −1 f is continuous. Thus Γf is a homeomorphism.

这是一个数学问题，我可以回答。根据定义，如果一个函数 f 是一对一的，且显然是到达的，我们只需要证明 f 和 f-1 |Γf(E1) 是连续的。有限开区间 (a, b) 形成 E1 的基础。让 Ua，b = n (x，y) ∈ E2 | x ∈ (a，b) o。然后 U 在 E2 中是开放的。形式为 B∩Γf(E1) 的集合形成 Γf(E1) 中开放集的基础，其中 B 是 E2 中的开放球。请注意，B∩Γf(E1) = Ua，b ∩Γf(E1) 对于某些 Ua，b。然后 Γ−1f(B∩Γf(E1)) = Γ−1f(Ua，b) = (a，b) 在 E1 中是开放的。因此 Γf 是连续的。反之，f((a，b)) = Γf(E1) ∩ Ua，b。因此 f((a，b)) 在 Γf(E1) 中是开放的。因此 Γ−1f 是连续的。因此 Γf 是一个同胚。