MATLAB中,用MC方法模拟伽尔顿板,思路是:假设有一个钉子组成等间距的垂直的阵列,小珠从上部滚落下来,碰到一个钉子后将等概率向左向右运动,为了简单还假设向左运动的小珠将碰到下一排左边一格的钉子,向右运动的钉子将碰到下一排右边一个的钉子,小珠一直这样落下,直到底部。用模拟证明,即使所有的珠子都从一个地方落下,在底部也会形成正态分布。
时间: 2024-02-25 12:59:15 浏览: 20
在MATLAB中模拟伽尔顿板可以采用以下步骤:
1. 定义钉子的位置和数量。可以使用一个向量来表示钉子的位置,例如:
```matlab
nails = linspace(0, 1, 101);
```
这里假设有101个钉子,它们的位置均匀分布在0到1之间。
2. 定义小珠的初始位置。可以假设小珠的初始位置在最上面的中间位置,例如:
```matlab
x = 0.5;
y = 1;
```
3. 在每个时间步中,模拟小珠的运动。在每个时间步中,小珠都会碰到一个钉子,然后等概率向左或向右运动。可以使用rand函数来模拟向左或向右的概率,例如:
```matlab
for i = 1:N
if rand < 0.5
x = nails(floor(x*N)+1);
else
x = nails(ceil(x*N)+1);
end
y = y - 1;
positions(i) = x;
end
```
这里假设有N个时间步,每次移动小珠的位置并将其记录在一个向量中。
4. 统计小珠在底部的位置分布。在模拟完成后,可以使用hist函数来统计小珠在底部的位置分布,并画出正态分布的拟合曲线,例如:
```matlab
hist(positions, 50);
xlim([0 1]);
hold on;
x = linspace(0, 1, 1000);
y = normpdf(x, 0.5, sqrt(1/12/N));
plot(x, y*N*50, 'r', 'LineWidth', 2);
hold off;
```
这里假设将小珠的位置分成50个区间,并将正态分布的参数设置为均值为0.5,方差为1/12N。
完整的MATLAB代码如下:
```matlab
N = 100000;
nails = linspace(0, 1, 101);
x = 0.5;
y = 1;
positions = zeros(N, 1);
for i = 1:N
if rand < 0.5
x = nails(floor(x*N)+1);
else
x = nails(ceil(x*N)+1);
end
y = y - 1;
positions(i) = x;
end
hist(positions, 50);
xlim([0 1]);
hold on;
x = linspace(0, 1, 1000);
y = normpdf(x, 0.5, sqrt(1/12/N));
plot(x, y*N*50, 'r', 'LineWidth', 2);
hold off;
```
运行代码后,可以得到一个直方图和正态分布的拟合曲线,证明了即使所有的珠子都从一个地方落下,在底部也会形成正态分布。