假设无人机以平行于水平面的方式飞行,在空中投放物资(物资为球形,半径20cm,重量50kg)到达地面指定位置。 (1)建立数学模型,给出无人机投放距离(投放物资时无人机与地面物资指定落地点之间的直线距离)与无人机飞行高度、飞行速度、空气阻力等之间的关系。写出代码
时间: 2024-05-07 20:18:28 浏览: 12
建立数学模型:
设无人机的飞行高度为h,飞行速度为v,投放物资的指定落地点距离无人机水平面的高度为d,物资的半径为r。
物资从无人机投放到落地需要一定的时间t,假设物资的下落是自由落体运动,由于无人机是平行飞行,所以我们只考虑物资在竖直方向上的运动。
由自由落体运动的公式可得:
d = 1/2 * g * t^2
其中,g为重力加速度,约为9.8m/s^2。
t = sqrt(2d/g)
物资在水平方向上的运动距离为:
L = v * t
代入t的表达式,得到:
L = sqrt(2gd)/sqrt(g) * v
化简得到:
L = sqrt(2gd) * sqrt(2) * v / sqrt(g) = sqrt(2gd) * sqrt(2v^2) / g
加入空气阻力后,物资的运动方程为:
m * dv/dt = -mg - k * v
其中,m为物资的质量,g为重力加速度,k为空气阻力系数,v为物资下落的速度。
解这个一阶微分方程,得到:
v = (mg/k) * (1 - e^(-kt/m)) + v0 * e^(-kt/m)
其中,v0为物资开始下落时的速度。
由于阻力与速度成正比,我们可以把k/m合并成一个常数α,得到:
v = (mg/α) * (1 - e^(-αt)) + v0 * e^(-αt)
代入t的表达式,得到:
v = (mg/α) * (1 - e^(-α * sqrt(2d/g))) + v0 * e^(-α * sqrt(2d/g))
物资在水平方向上的运动距离为:
L = v * sqrt(2d/g)
代入v的表达式,得到:
L = ((mg/α) * (1 - e^(-α * sqrt(2d/g))) + v0 * e^(-α * sqrt(2d/g))) * sqrt(2d/g)
化简得到:
L = (mg/α) * sqrt(2d/g) - (mg/α) * e^(-α * sqrt(2d/g)) * sqrt(2d/g) + v0 * sqrt(2d/g) * e^(-α * sqrt(2d/g))
代码实现:
```python
import math
def calculate_drop_distance(h, v, d, r, m, k):
g = 9.8
alpha = k / m
t = math.sqrt(2 * d / g)
v0 = - math.sqrt(2 * g * h)
v = (m * g / alpha) * (1 - math.exp(- alpha * t)) + v0 * math.exp(- alpha * t)
L = v * math.sqrt(2 * d / g)
return L
h = 100 # 飞行高度
v = 10 # 飞行速度
d = 500 # 落地点距离
r = 0.2 # 物资半径
m = 50 # 物资重量
k = 0.1 # 空气阻力系数
L = calculate_drop_distance(h, v, d, r, m, k)
print("无人机投放距离为:", L, "米")
```