用C语言计算下列问题：.计算∮_c▒sin⁡z/〖(z-1)〗^5 d_z,其中c为正向圆周|z|=2，并写出代码

在C语言中，由于复数运算的复杂性以及标准库通常不直接支持复数，你需要引入一些额外的库来处理复数计算，比如`complex.h`。不过，对于这个问题，我们可以利用泰勒级数展开和柯西主值（Cauchy Principal Value, CPV）的概念来简化求解，因为原函数在z=1处有阶数大于1的极点。

泰勒级数展开可以将sin(z)转换成其在z=0处的幂级数形式，然后计算z=2处积分的有限部分。这里我们不会直接编写完整的C代码，而是提供思路和步骤：

1. 首先，定义一个`Complex`结构体来表示复数，包含实部和虚部：

#include <complex.h>
typedef struct {
    double real;
    double imag;
} Complex;

2. 创建一个辅助函数来计算泰勒级数：

Complex sin_series(int n, double z) {
    // 初始化复数零和系数
    Complex term = {0, 0};
    double coefficient;

    for (int k = 0; k <= n; k++) {
        coefficient = pow(-1, k) * pow(z, 2*k + 1) / factorial(2*k + 1);
        term.real += coefficient;
    }
    return term;
}

double factorial(int n) {
    if (n == 0 || n == 1) return 1;
    return n * factorial(n - 1);
}

3. 计算CPV积分。由于我们的目标是在z=1附近，可以使用正负无穷大（infinity）来代替这个点：

double calculate_integral() {
    const int n_terms = 10; // 可以适当增加来提高精度
    double radius = 2.0;
    double angle = 2 * M_PI; // 圆周的长度

    Complex integral = {0, 0};
    for (double theta = 0; theta < angle; theta += M_PI / n_terms) {
        Complex z = {radius * cos(theta), radius * sin(theta)};
        Complex sin_z = sin_series(n_terms, z);

        // 使用复数乘法和除法运算
        Complex denominator = {1, 0}; // (z - 1)^5
        for (int i = 0; i < 5; i++) {
            denominator *= z;
        }

        integral.real += sin_z.real * conj(denominator).real;
        integral.imag += sin_z.imag * conj(denominator).imag;
    }

    // 返回复数模长作为结果，注意CPV的结果可能不是实数
    return hypot(integral.real, integral.imag);
}

4. 最后，调用`calculate_integral()`并打印结果。注意，实际应用中可能需要优化数值计算部分，例如使用更稳定的数值方法来避免浮点误差累积。

请注意，C标准库并不直接支持复数运算，因此上述代码可能需要进一步调整。在某些特定的环境（如数学软件包或专用库）中，可能会有现成的功能可以直接完成此任务。如果没有可用的库，你可能需要自行实现复数运算和级数计算。