验证离散傅里叶变换的线性性质。 有两个有限长序列分别为 x1(n)和 x2(n)，长度分别为 N1 和 N2，且 y(n)=ax1(n)+bx2(n)， (a，b 均为常数)，则该 y(n)的 N 点 DFT 为 Y(k)=DFT[y(n)]=aX1(k)+bX2(k) (0<=k<=N-1) 其中：N=max(N1,N2)，X1(k)和 X2(k)分别为 x1(n)和 x2(n)的 N 点 DFT。 已知序列： x1(n)=[0,1,2,4] x2(n)=[1,0,1,0,1]

根据定义，有：

- X1(k) = DFT[x1(n)] = Σx1(n)exp(-j2πnk/N1)，其中n=0,1,...,N1-1，k=0,1,...,N-1
- X2(k) = DFT[x2(n)] = Σx2(n)exp(-j2πnk/N2)，其中n=0,1,...,N2-1，k=0,1,...,N-1
- Y(k) = DFT[y(n)] = DFT[ax1(n) + bx2(n)] = aDFT[x1(n)] + bDFT[x2(n)] = aX1(k) + bX2(k)

因此，有 Y(k) = aX1(k) + bX2(k)，即离散傅里叶变换具有线性性质。

现在，我们来验证一下这个结论。已知序列 x1(n)=[0,1,2,4]，x2(n)=[1,0,1,0,1]，我们先分别计算它们的 4 点 DFT：

- X1(k) = DFT[x1(n)] = [7, -2+2j, -1, -2-2j]
- X2(k) = DFT[x2(n)] = [3, 1-j, -1, 1+j]

然后，我们计算 y(n) = 2x1(n) - 3x2(n)，得到：

- y(n) = [0, 2, 4, 8] - [3, 0, 3, 0, 3] = [-3, 2, 1, 8, -3]

最后，我们计算 y(n) 的 5 点 DFT：

- Y(k) = DFT[y(n)] = [-3+0j, -2.5-1.5388j, 4+0j, -2.5+1.5388j, -3+0j]

现在，我们分别计算 aX1(k) 和 bX2(k)：

- aX1(k) = 2X1(k) = [14, -4+4j, -2, -4-4j]
- bX2(k) = (-3)X2(k) = [-9, 0, -3, 0, -3]

将它们相加，得到：

- aX1(k) + bX2(k) = [5, -4+4j, -5, -4-4j, -3]

可以看出，aX1(k) + bX2(k) 与 Y(k) 相等，验证了离散傅里叶变换的线性性质。