卡尔曼滤波定义及实现代码

卡尔曼滤波是一种用于估计线性系统状态的最优滤波算法，它根据系统的动态方程和观测方程，利用贝叶斯概率理论进行状态估计。它是一种递推算法，可以在不断地接收新的观测值时，动态地对系统状态进行估计，同时还可以估计状态的不确定性。卡尔曼滤波广泛应用于航空、导航、遥感、信号处理等领域。

下面是一个简单的卡尔曼滤波实现代码，演示了如何使用卡尔曼滤波对一个线性系统的状态进行估计。

% 卡尔曼滤波实现代码
clear;
clc;

% 1. 定义系统状态方程
% 状态方程 x(k) = Fx(k-1) + Gu(k) + w(k)
F = [1 1; 0 1]; % 状态转移矩阵
G = [0.5; 1]; % 输入矩阵
w = [0; 0]; % 状态噪声，假设为0

% 2. 定义观测方程
% 观测方程 y(k) = Hx(k) + v(k)
H = [1 0]; % 观测矩阵
v = 0; % 观测噪声，假设为0

% 3. 初始化状态和协方差矩阵
x = [0; 0]; % 初始状态向量
P = [1 0; 0 1]; % 初始状态协方差矩阵

% 4. 定义参数
Q = [0.01 0; 0 0.01]; % 状态噪声方差矩阵
R = 0.01; % 观测噪声方差

% 5. 生成随机数据
T = 100; % 时刻数
u = randn(T, 1); % 随机输入
y = zeros(T, 1); % 观测数据
x_true = zeros(T, 2); % 真实状态
for k = 1:T
    % 计算真实状态
    x_true(k, :) = F * x_true(max(k-1, 1), :)' + G * u(k) + w'; 
    % 生成观测数据
    y(k) = H * x_true(k, :)' + v;
end

% 6. 开始卡尔曼滤波
x_est = zeros(T, 2); % 估计状态
for k = 1:T
    % 预测
    x_pred = F * x(k, :)' + G * u(k);
    P_pred = F * P * F' + Q;
    
    % 更新
    K = P_pred * H' / (H * P_pred * H' + R);
    x_est(k, :) = x_pred + K * (y(k) - H * x_pred);
    P = (eye(2) - K * H) * P_pred;
    
    % 更新状态
    x(k+1, :) = x_est(k, :);
end

% 7. 绘图
figure(1);
plot(x_true(:, 1), 'b-');
hold on;
plot(x_est(:, 1), 'r--');
xlabel('时刻');
ylabel('状态');
legend('真实状态', '估计状态');
title('状态1的估计结果');

figure(2);
plot(x_true(:, 2), 'b-');
hold on;
plot(x_est(:, 2), 'r--');
xlabel('时刻');
ylabel('状态');
legend('真实状态', '估计状态');
title('状态2的估计结果');

该代码中，首先定义了一个线性系统的状态方程和观测方程，然后初始化了状态和协方差矩阵，以及卡尔曼滤波器的参数。接着生成了随机数据作为输入和观测数据，然后使用卡尔曼滤波对系统状态进行估计。最后绘制了状态1和状态2的真实状态和估计状态的变化曲线。

需要注意的是，该代码实现了一个简单的一维线性系统的状态估计，实际应用中可能需要根据具体问题进行调整和优化。