取不同步长h.分别用复合梯形及复合辛普森求积计算积分,给出误差中关于h的函数,并

对于给定的函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的积分，我们可以利用复合梯形和复合辛普森求积来进行数值计算。

复合梯形求积的公式为：
$$
\int_{a}^{b} f(x)dx \approx h \left( \frac{f(a)}{2} + \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + \frac{f(b)}{2} \right)
$$
其中，$h=\frac{b-a}{n}$，$x_i=a+ih$。

复合辛普森求积的公式为：
$$
\int_{a}^{b} f(x)dx \approx h \left( \frac{f(a)}{2} + \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + \frac{f(b)}{2} + \frac{2}{3}\sum_{i=1}^{n} f(x_i+\frac{h}{2}) \right)
$$

我们可以通过调整步长$h$，即$n$的大小来控制精度。误差可以使用龙贝格外推公式来估计，其中在复合梯形求积中，
$$
E(h)=\frac{h^2}{12}(b-a)f''(\xi) \quad \text{其中} \quad \xi \in [a,b]
$$
在复合辛普森求积中，
$$
E(h)=\frac{h^4}{180}(b-a)f^{(4)}(\xi) \quad \text{其中} \quad \xi \in [a,b]
$$
可以看出，误差与步长$h$的平方和第四次方成正比关系。

因此，通过逐渐减小步长$h$，我们可以减小误差并提高数值积分的精度。当然，过小的步长也会导致计算时间的增加，所以在实际应用中需要权衡计算精度和时间效率。