不动点算法解稀疏和稳定的马科维茨投资组合问题

不动点算法（Fixed Point Iteration）通常用于寻找某个函数的固定点，即满足f(x) = x的点。在优化问题中，特别是金融领域的马科维茨投资组合问题，这种算法可以用来求解均值-方差优化中的有效前沿，也就是找到给定风险水平下收益最高的投资组合，或者相反，找到给定预期收益下的最低风险组合。

在解决稀疏和稳定的马科维茨问题时，我们通常考虑资产之间的关联性矩阵是稀疏的，这意味着并非所有资产都高度相关。这有助于减少计算量，因为不是所有的资产组合都需要被考虑。稳定性指的是投资者对资产组合波动性的敏感度，如果投资者倾向于选择更稳定的投资组合，那么算法会偏向于找到那些波动性较低的解。

不动点算法在求解均值-方差优化问题中的步骤如下：

1. 初始化一个投资组合权重向量x0。
2. 对每个资产i，计算其对总回报和总风险的贡献，这依赖于资产的期望收益率μ和协方差矩阵Σ。
3. 使用迭代公式x_{k+1} = f(x_k)，其中f(x)是一个映射，通常表示为x新的权重等于期望收益率除以风险（标准差），即x_{k+1} = (μ + Σx_k) / μ。
4. 重复步骤2和3，直到达到收敛条件，如权重的变化在某一个阈值内变得足够小，或者达到预定的迭代次数。