求证：邻域N（x0，δ）={x| ||x－x0||＜δ，δ＞0}是凸集。

邻域N（x0，δ）={x| ||x－x0||＜δ，δ＞0}是一个凸集。

证明：
假设a、b两个点属于N（x0，δ），即满足条件||a－x0||＜δ和||b－x0||＜δ。

对任意的t∈[0,1]，考虑点c=t*a+(1-t)*b。
我们有：
||c-x0|| = ||(t*a+(1-t)*b)-x0||
= ||(t*a-x0)+(1-t)*(b-x0)||
≤ ||t*a-x0|| + ||(1-t)*(b-x0)||
= t*||a-x0|| + (1-t)*||(b-x0)||
< t*δ + (1-t)*δ
= δ

所以，c也属于N（x0，δ），即N（x0，δ）对于线段上的任意两点都包含其间的所有点。

因此，邻域N（x0，δ）={x| ||x－x0||＜δ，δ＞0}是一个凸集。